重教材顯能力,寓意深導向明

題目1 （2010年四川高考理科12題）設a>b>c>0，則2a2+1ab+1a(a-b)-10ac+25c2的最小值是().

A.2

B.4

C.25

D.5

題目2 （2010年四川高考理科19題）（1）①證明兩角和的余弦公式Cα+β：cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ；

②由Cα+β推導兩角和的正弦公式Sα+β：sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ.

（2）已知△ABC的面積S=12，AB#8226;AC=3且cosB=35，求cosC.

評析 本文根據分析此兩題體現的亮點，對2011級高三復習提出點建議供參考.

亮點1 體現了高考試題源于教材，又高于教材，不拘泥于教材的命題原則

題目1是由人教社高二（上）復習參考題六B組第3題“已知a>b>0，求a2+16b(a-b)的最小值”改編而得；題目2是人教社高一（下）數學（必修）P37-39的正文內容.這樣源于教材的高考試題每年都有，比如2007年四川高考17題三角函數就與人教社高一（下）數學（必修）習題4.6的12題如出一轍；2008年高考四川延考區理科第5題是由教材高一（下）第四章復習參考題四第9題改編而成等，但這次尤為典型.

四川這五年自主命制高考試題一直在追求“穩中有進，穩中有變，穩中求新”，但無論怎么進、變、新，高考命題都會堅持“依綱靠本”的原則，高考命題最根本的依據就是《考試大綱》和《教材》，教材是高考中、低檔試題的直接來源，命題人都不會刻意去回避它，一套高考試題及其蘊涵的數學思想方法都能在教材中找到根源，2010年的高考試題繼承了前4年的優點之一：部分試題是由教材中的典型例、習題改編而成（上述題目1），或是教材中多個內容或多道試題交匯組合而成等.在此之上，命題人在2010年做了一個大膽的嘗試、創新，也是2010年高考的一個最大亮點：就是直接引用教材上最基本的三角公式的推導作為一道題目（上述題目2），突出考查了數學本質和數學理性思維.這五年的高考試題中來自教材的試題及其改編題，在基本平穩的基礎上是一年比一年有深度，一年比一年有新意，一年比一年導向性更明朗.

亮點2 體現了穩中有變、穩中出新

自主命題以來，前4年的解答題都是三角、概率、立體幾何這一順序編排，2010年則打破這一不變的常規，變為概率、立幾、三角，將三角放在了第三大題，這樣打破了平時教學復習時老師教給學生的高考試卷的固定模式，六個大題的編排順序不是固定不變的，這就要求教師在高三復習教學時要教給學生應試技巧，要教會學生調整應試心理；再則或許是因為題目2第（1）問是教材上的公式證明，絕大多數老師和學生都只在高一學習新課時關注過，在高三復習時基本都對它無人問津，命題人也預感到該題會難倒很多考生，出于關注考生心理因素和減輕考生心理壓力等種種因素考慮，故將該題后移到第三大題，可見命題人之用心良苦；無論是出于何種情由，2010年試卷在編排體系上的變化最終實現了穩中有變、穩中出新的目的.

亮點3 重視基礎，凸顯能力，滲透新課程理念

2010年秋季四川省已全面實行新課程，新課程理念中要求學生的數學學習不應只限于接收、記憶、模仿和練習，要注重強調返璞歸真，努力揭示數學概念、法則、結論的發展背景、形成過程和本質，體會蘊涵在其中的數學思想，體驗尋找真理和發現真理的方法，體現數學的文化價值與人文精神，感受數學美.題目2第（1）問就是這一理念的充分體現，它不僅要求學生要掌握并應用這一公式，更要掌握該公式的推導過程，并體會其蘊涵的數學思想，這就在重視教材基礎的同時，凸顯了學生數學能力的提升.這就啟發我們在平時的教學過程中不是把一些現成的結論直接告訴給學生，而是要多注重知識的發生發展過程，培養學生理性思辨能力，讓學生學會數學思維，真正理解重要的數學思想方法，減少過多的程式化訓練.

亮點4 方法多樣，交會自然，平和中見新奇

題目1

解法1 已知可化為2a2+1b(a-b)-10ac+25c2.

又 b(a-b)≤b+a-b22=a24，

∴2a2+1b(a-b)-10ac+25c2≥2a2+4a2-10ac+25c2=a2+4a2+a2-10ac+25c2=a2+4a2+(a-5c)2≥a2+4a2≥4，

當且僅當b=a-b，a=5c且a=2，即a=2b=5c=2時，“=”成立.

解法2 2a2+1ab+1a(a-b)-10ac+25c2=(a-5c)2+a2-ab+ab+1ab+1a(a-b)=(a-5c)2+ab+1ab+a(a-b)+1a(a-b)≥0+2+2=4，

當且僅當a-5c=0，ab=1，a(a-b)=1，

即a=2，b=22，c=25時，等號成立.

題目2（1）①

證法1 如圖，在直角坐標系xOy內作單位圓O，并作出角α，β與-β，使角α的始邊為Ox，交⊙O于點P1，終邊交⊙O于點P2；角β的始邊為OP2，終邊交⊙O于點P3；角-β的始邊為OP1，終邊交⊙O于點P4.則P1(1，0)，P2(cosα，sinα)，

P3(cos(α+β)，sin(α+β))，P4(cos(-β)，sin(-β)).

由P1P3=P2P4及兩點間的距離公式，

得［cos(α+β)-1］2+sin2(α+β)=［cos(-β)-cosα］2+［sin(-β)-sinα］2.

展開并整理，得2-2cos(α+β)=2-2(cosαcosβ-sinαsinβ).

∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.

此方法是運用兩點間的距離公式及圓的有關知識來推導，看似簡單，實則對學生來說是有一定難度的.

證法2 如圖，在平面直角坐標系xOy內作單位圓O，以Ox為始邊作角α，β，它們的終邊與單位圓O的交點分別為A，B.

則OA=(cosα，sinα)，OB=(cosβ，sinβ).

由向量數量積的坐標表示有：

OA#8226;OB=(cosα，sinα)#8226;(cosβ，sinβ)

=cosαcosβ+sinαsinβ.

設OA與OB的夾角為θ，

則OA#8226;OB=|OA|#8226;|OB|cosθ=cosαcosβ+sinαsinβ.

又由圖可知，α=2kπ+β+θ或α=2kπ+β-θ，

于是α-β=2kπ±θ，k∈Z.

∴cos(α-β)=cosθ，

∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.

此法用向量知識證明，很自然地將向量、三角與圓進行交會，過程簡潔易懂，也從一道平凡試題中展示了向量方法的新奇性，但學生不易想到.

證法3 用單位圓上的三角函數線也可給以證明，此處略.

亮點5 寓含深意，注重思想，導向功能強

羅增儒老師說過：“高考復習的指導思想可界定為：以考試規律為指導，以近年高考命題的穩定性風格為導向；依綱靠本；以解題訓練為中心，以中檔綜合題為重點，以近年高考試題為基本素材.平時教學要按教學規律進行，高考復習要按考試規律進行.考什么就練什么、怎么考就怎么練.”高考試卷就是指揮棒，就是高三復習的導向風標.四川這五年的高考試卷都有一個日趨明朗的教學與高考復習導向，就是引導中學數學教學抓綱務本，回歸教材，回歸基礎，回歸近幾年的高考試題，注意挖掘課本潛力，減輕負擔.尤其是2010年高考試題中的第12和19題展現得更是明顯，突出了對數學本質和數學思想方法的考查，體現了“過程與方法”的理念，這對高三數學教學與復習回歸教材、認識數學本質、重視知識之間的邏輯關系等有著很清晰的導向作用，這樣更有利于糾正復習過程中的“教學題型化”“解題套路化”和“資料泛濫化”.四川省2010年秋季首次實施新課程標準，2010年高考的這一良好導向也為實施新課程奠定了基礎，教學課時相對減少，教學內容有所增加等，這就要求教師和學生必須要以教材為根本，讀懂、理解、吃透教材，領悟和把握教材，并對其變式、引申、拓展，提煉和掌握其蘊涵的數學思想、方法等通性通法，減輕學業負擔，提高教學效益和實施素質教育等都具有良好的導向功能.