用幾何知識(shí)求解函數(shù)最值

【摘要】本文通過對(duì)函數(shù)的深層次研究，運(yùn)用了問題轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等思想，應(yīng)用幾何知識(shí)來研究函數(shù)的最值問題，從而使靈活多變、復(fù)雜難解的函數(shù)最值問題簡(jiǎn)單化、直觀化、淺顯化，讓我們能夠輕松簡(jiǎn)便的求解函數(shù)最值問題，從而激發(fā)學(xué)生的興趣，提高學(xué)生的綜合能力以及訓(xùn)練學(xué)生的發(fā)散思維能力.

【關(guān)鍵詞】函數(shù)；最值；圖形；幾何

一、引 言

函數(shù)——作為代數(shù)的核心組成部分，是我們學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)和進(jìn)一步學(xué)習(xí)的關(guān)鍵，其最值問題的求解在高考中占很重的比例，然而其方法隨函數(shù)式的變化而靈活多變，多種多樣，因此一直成為中學(xué)生學(xué)習(xí)的一大難點(diǎn)，本文我們就應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等思想把代數(shù)和幾何有機(jī)的結(jié)合起來，使問題直觀呈現(xiàn)出來，從而加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的識(shí)記和理解.在解答題時(shí)，有利于學(xué)生分析題中數(shù)量之間的關(guān)系，豐富表象，引發(fā)聯(lián)想，啟迪思維，拓寬思路，迅速找到解決問題的方法，從而提高分析問題和解決問題的能力.抓住問題轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合思想教學(xué)，不僅能夠提高學(xué)生的數(shù)形轉(zhuǎn)化能力，還可以提高學(xué)生的遷移思維能力，現(xiàn)在我們就一起從抽象的代數(shù)函數(shù)領(lǐng)域到另一個(gè)直觀的領(lǐng)域——幾何.

二、主要結(jié)果

1.轉(zhuǎn)化為截距

例1 數(shù)x，y滿足x2+y2-4x+3=0，求2x+y的最值.

解 令2x+y=b，即y=-2x+b.

又 ∵圓(x-2)2+y2=1的圓心為（2，0），

該點(diǎn)到直線y=-2x+b的距離為1，

則|2×2-b|22+12=1，解得b=4±5.

∴bmax=4+5，bmin=4-5.

2.兩點(diǎn)間的距離

例2 函數(shù)y=x2-2x+5+x2+6x+25(x∈R)的最小值.

解 如圖所示.

∵y=x2-2x+5+x2+6x+25

=(x-1)2+(0-2)2+ (x+3)2+(0-4)2，

y為點(diǎn)(x，0)到點(diǎn)A(1，2)，B(-3，4)的距離之和，B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為B′(-3，-4)，

則AB=(1+3)2+(2+4)2=213.

故ymax=213.

3.構(gòu)造矩形

例3 已知：x，y，z∈R，x+y+z=1，求x2+y2+y2+z2+z2+x2的最小值.

解 ∵x，y，z∈R，x+y+z=1，構(gòu)造邊長(zhǎng)為1的正方形，將一組鄰邊的一條分成3段，長(zhǎng)度分別為x，y，z，另一條長(zhǎng)為y，z，x，如圖所示.

則|OA|=x2+y2，|AB|=y2+z2，

|BC|=z2+x2，|OC|=12+12=2，

即x2+y2+y2+z2+z2+x2≥2，

且當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z=13時(shí)，取到最小值，最小值為2.

4.構(gòu)造立方體

例4 已知α，β，γ均為銳角且cos2α+cos2β+cos2γ=2，求cotαcotβcotγ的最小值.

解 設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為a，b，c，

易知cotα=a2+c2b，

cotβ=b2+c2a，cotγ=a2+b2c，

∴cotαcotβcotγ=a2+c2b#8226;b2+c2a#8226;a2+b2c≥2acb#8226;2bca#8226;2abc=22（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取等號(hào)）

5.利用線性規(guī)劃

例5 設(shè)目標(biāo)函數(shù)z=x+2y，式中變量滿足下列條件x+y≤4，x-y≤-2，x≥0，y≥0，求z的最大值.

解 如圖，畫出可行區(qū)域如陰影部分所示，平行移動(dòng)直線x+2y=0，到直線x+y=4與直線x-y=-2的交點(diǎn)A(1，3)處距離原點(diǎn)（0，0）最遠(yuǎn)，故使得目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最大，zmax=1+2×3=7.

三、結(jié)束語

求函數(shù)最值問題的方法隨函數(shù)式的變化而靈活多變，多種多樣，有判別式配方法、反函數(shù)法、變量代換法、不等式法……其中用幾何知識(shí)解決求最值是一種極其重要的方法，它將抽象的數(shù)學(xué)語言用于直觀的幾何中，運(yùn)用幾何直觀尋求解題思路.

所以我們要學(xué)會(huì)發(fā)散思維，尋找其他的切題口，從而使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，未知問題已知化，陌生問題熟悉化，多元問題一元化，抽象問題直觀化.代數(shù)和幾何既有區(qū)別，又緊密聯(lián)系，可以相互轉(zhuǎn)化，由數(shù)想圖，以形助數(shù)，從而讓我們簡(jiǎn)便解題，訓(xùn)練我們的思維，靈活大腦，提高解題能力.

【參考文獻(xiàn)】

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［3］馬富強(qiáng).巧用幾何直觀解題.中學(xué)生數(shù)學(xué)，2002（12）：14.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文