如何做好解決數學問題的兩個“一”

【摘要】解決數學問題的兩個“一”主要包括“一題多解”與“一題多變”.一題多變和一題多解對培養學生發散思維有很大的幫助，是學生創新思維的必備前提，也是一種良好的學習品質.新課標指出：注意提高學生的數學思維能力，發展學生的創新意識.兩個“一”正好有效地鍛煉了學生的思維，提高了學生解決問題的能力.

【關鍵詞】一題多解；一題多變

一、一題多解

一題多解，就是啟發和引導學生從不同的角度，用不同的方法去解答同一道數學題.一題多解能激發學生的潛能，提高學生解決問題的能力，培養學生的創造思維.

例1 求cos20°cos40°cos80°的值.

解法1 由于題目給出的是乘積形式，故可以利用積化和差公式.

cos20°cos40°cos80°

=cos20°#8226;12(cos120°+cos40°)

=-14cos20°+12cos20°cos40°

=-14cos20°+14(cos60°+cos20°)

=14cos60°=18.

說明 解題的關鍵是先將cos40°與cos80°的乘積化為和與差形式，展開后繼續利用積化和差公式.

解法2 本題中三個角成兩倍關系，從這個特征出發，利用二倍角公式解題.

cos20°cos40°cos80°

=sin20°cos20°cos40°cos80°sin20°

=sin40°cos40°cos80°2sin20°

=sin80°cos80°4sin20°

=sin160°8sin20°=18.

說明 分子與分母都乘以最小角的正弦值，然后利用二倍角公式是解決本題的關鍵.

解法3 本題可以利用正弦與余弦的對偶關系，構造對偶式.

記M=cos20°cos40°cos80°，N=sin20°sin40°sin80°，

則8MN=2sin20°cos20°#8226;2sin40°cos40°#8226;2sin80°cos80°

=sin40°sin80°sin160°=N，

所以M=18.

說明 此種解法對學生的思維能力要求較高，需要具有靈活的思維才能想到構造對偶式，從而利用二倍角公式.

總結 在求解本題時，利用二倍角公式較為簡捷，而且在解題過程中，有利于學生將問題推廣到一般情況：

cosα#8226;cos2α#8226;cos4α#8226;…#8226;cos2n-1α=sin2nα2nsinα.

二、一題多變

一題多變是對某個問題進行多層次、多角度、多方位地探索，通過條件的變化和問題的改換，使知識得到延伸.一題多變可以有效地提高學生的學習興趣，有效地提高學生的思維品質，發展學生的創新思維.

例2 已知a，b為正實數且a+b=1，求1a+1b的最小值.

解 1a+1b

=a+ba+a+bb=2+ba+ab

≥2+2ba#8226;ab=2+2=4，

當且僅當a+b=1，ba=ab及a=12，b=12時等號成立.

說明 解題時，將“1”替換為a+b=1是解決問題的關鍵；另外，注意到1a和1b的分母之和為“1”.

變題1 已知0

思路 如果對上例的基本結構沒有理解的話，本題不太容易找出思路，可能有的同學就選擇了利用導數來求解.其實應注意到1x與11-x的分母之和為“1”，于是想到將分子中的“1”替換為x+(1-x).

1x+11-x

=x+(1-x)x+x+(1-x)1-x=2+1-xx+x1-x

≥2+21-xx#8226;x1-x=4.

當且僅當1x=11-x，即x=12時等號成立.

說明 與例題相比，本題由例題中的兩個變量變為了一個變量，給學生的思考設置了一定的障礙.但學生如果能看出兩項的分母之和為“1”，便將問題回歸到了例題.

變題2 求1sin2θ+2cos2θ的最小值.

思路 注意到1sin2θ與2cos2θ的分母之和sin2θ+cos2θ=1.

1sin2θ+2cos2θ

=sin2θ+cos2θsin2θ+2(sin2θ+cos2θ)cos2θ

=3+cos2θsin2θ+2sin2θcos2θ

≥3+2cos2θsin2θ#8226;2sin2θcos2θ=3+22，

當且僅當1sin2θ=2cos2θ，即sin2θ=13且cos2θ=23時等號成立.

說明 把例2、變題1相比，本題已知都沒有，可能更讓學生覺得難以下手，其實已知隱含在題目當中，“0

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