拋物線的定值問題

【摘要】在長期的教學中，筆者經常會遇到或想到圓錐曲線的一些定值問題，學生們也需要教師給予解答和總結，筆者精選了拋物線五個定值問題，供師生們參考.

【關鍵詞】拋物線；定值；焦點

1.已知AB是過拋物線y2=2px(p>0)焦點F的動弦.求證：1|FA|+1|FB|=2p（定值）.

證明 設A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的方程為

y=kx-p2.

當k不存在時，|FA|=|FB|=p2+p2=p，

∴1|FA|+1|FB|=2p.

當k存在時，由y2=2px，y=kx-p2.(1)(2)

得k2x2-(pk2+2p)x+k2p24=0.

則x1+x2=pk2+2pk2，x1x2=p24，

∴1|FA|+1|FB|

=1x1+p2+1x2+p2

=x1+x2+px1x2+p2(x1+x2)+p24

=pk2+2pk2+pp24+p2#8226;pk2+2pk2+p24

=2(k2+1)pk2p2(k2+1)k2=2p.

2.過拋物線y2=2px(p>0)焦點F的兩條相互垂直的弦AB和CD，則1|AB|+1|CD|=12p（定值）.

證明 設A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，

由上題，得x1+x2=pk2+2pk2.（1）

∵AB⊥CD，∴kCD=-1k.

由（1），可得x3+x4=p-1k2+2p-1k2=p+2pk2.（2）

|AB|=|AF|+|FB|=x1+p2+x2+p2=x1+x2+p=pk2+2pk2+p=2p(k2+1)k2.

同理，|CD|=x3+x4+p=2p(k2+1)，

∴1|AB|+1|CD|=k22p(k2+1)+12p(k2+1)=12p.

3.設MN是過拋物線y2=2px(p>0)焦點F的動弦.由M，N分別向拋物線的準線作垂線MA，NB，其中A，B是垂足.求證：∠AFB=π2(定值).

證明 設M(x1，y2)，N(x2，y2)，則

A-p2，y1，B-p2，y2，Fp2，0.

FA=(-p，y1)，FB=(-p，y2)，

FA#8226;FB=(-p)2+y1y2=p2-p2=0.

∵FA⊥FB，∴∠AFB=π2.

4.過點P(x0，0)作直線l交拋物線y2=2px(p>0)于A，B兩點，交直線x=a于M點，若MA=λ1AP，MB=λ2BP，求證：λ1+λ2=-1-ax0（定值）.

證明 設A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(a，m)，則由MA=λ1AP，

即（x1-a，y1-m）=λ1(x0-x1，-y1)，

得λ1=-y1-my1=my1-1，同理得λ2=my2-1.

∴λ1+λ2=my1+my2-2=m(y1+y2)y1y2-2.（*）

拋物線方程與直線l方程聯立，列方程組y2=2px，x=ty+x0，(1)(2)

得y2-2pty-2px0=0.

則y1+y2=2pt，y1y2=-2px0，（3）

∵M(a，m)在（2）上，∴a=tm+x0，得m=a-x0t.（4）

將（3）（4）代入（*）中，得

λ1+λ2=a-x0t#8226;2pt-2px0-2=-1-ax0.

5.設F是拋物線y2=2px(p>0)的焦點，A，B，C是拋物線上的三點，FA+FB+FC=0，則|FA|+|FB|+|FC|=3p（定值）.

證明 設x1，x2，x3是A，B，C三點的橫坐標.

∵FA+FB+FC=0，

∴拋物線焦點F是△ABC的重心.

故p2=x1+x2+x33，（1）

|FA|=p2+x1，|FB|=p2+x2，|FC|=p2+x3.（2）

由（1）（2），得|FA|+|FB|+|FC|=3p.

【參考文獻】

［1］劉銘.平面解析幾何的定值問題.遼寧招生考試， 2009（2）.

［2］彭世金.對圓錐曲線的一類定值問題的再思考.數學教學通訊，2006（9）.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文