淺談構造法解題

【摘要】從幾個角度例舉了如何用構造法巧妙地解數學題，認識構造法在解數學題中的重要作用，對數學思維活動中的構造問題進行了探討.

【關鍵詞】構造法；函數；方程（組）；復數；對偶式；三角關系式

什么是構造法呢?其實質就是依據某些數學問題的條件或結論所具有的典型特征.用已知條件中的元素為“原件”，用已知的數學關系為“支架”，在思維中構造一種相關的數學對象，或者一種新的數學形式.從而使問題轉化并得到解決的方法.這種方法要求綜合運用各種知識，把各科知識有機結合，根據問題的條件，結論，性質及特征.橫向聯系，縱向滲透，構造出輔助圖形或輔助關系式，使問題思路清晰，解法巧妙.

1.構造函數

通過觀察數學結構式的特征，引入相關的函數模型，再運用該函數熟知的性質，往往使解答有理有據，順暢自然.

例1 若函數f(x)的定義域是實數，并關于原點對稱，則它可以表示為一個奇函數和一個偶函數的和.

分析 對這個抽象函數的證明，如果不去把抽象的奇函數與偶函數構造出來，幾乎是欲證無門的.而利用奇函數的特征，我們不難構造出兩個輔助函數.

F(x)=12［f(x)+f(x)］，G(x)=12［f(x)-f(x)］.

很容易看出F(x)為偶函數，G(x)為奇函數，而f(x)=F(x)+G(x)的存在，就使證明得以完美的解決.

2.構造方程

根據條件式與所求式的特征，聯想有關的方程（組）利用方程的理論求解，可使問題變得十分熟悉.

例2 已知實數x滿足等式x2-yz-8x+7=0和y2+z2+yz-6x+6=0，求實數x的取值范圍.

分析 本題有三個未知數，一般需三個方程才能求解，但條件中只提供了兩個方程，直接求解較為困難，但觀察兩個方程發現，若把兩個方程中的未知數x看成已知數，則兩個方程都可看成是關于y，z的對稱式，故結合一元二次方程的根與系數的關系，把y，z看成某個一元二次方程的兩個實根構造一個新的一元二次方程，從而用根的判別式求出實數x的取值范圍.

兩式變形為yz=x2-8x+7，

(y+z)2=x2-2x+1，即y+z=±(x+1).

把y，z看作關于t的一元二次方程t2±(x-1)t+(x2-8x+7)=0的兩根.因為y，z是實數，故此一元二次方程有兩個實數解，所以Δ≥0.即(x-1)2-4(x2-8x+7)≥0，解不等式得11≤x≤9.

3.構造復數

復數具有代數式，三角式，幾何形式等多種表示方法，而這些表示所含的實際意義，以新的視角，新的途徑，溝通了代數三角和幾何等內容之間的聯系，若能在解題時，根據題設條件的特點，巧妙地構造復數，便能迅速地找到解題方法.

例3 已知a，b∈（0，1），求證：a2+b2+(1-a)2+b2+a2+(1-b)2+(1-a)2+(1-b)2≥22.

分析 看到這么多分式相加，似乎有種難以下手的感覺.若注意到根號里式子的特點，都是兩個數的平方和，立即聯想到復數的模，于是構造復數，再用三角不等式便迅速得證.

令z1=a+bi，z2=(1-a)+bi，z3=a+(1-b)i，z4=(1-a)+(1-b)i，則|z1|=a2+b2，|z2|=(1-a)2+b2，|z3|=a2+(1-b)2，|z4|=(1-a)2+(1-b)2.

而|z1|+|z2|+|z3|+|z4|≥|z1+z2+z3+z4|=|2+2i|=22，所以a2+b2+(1-a)2+b2+a2+(1-b)2+(1-a)2+(1-b)2≥22.

4.構造對偶式

若條件式或所求式具有對偶的特征，可構造對偶式，使問題變得簡單明了.

例4 對于正數x，規定f(x)=x1+x，計算f12006+f12005+f12004+…+f13+f12+f(1)+f(1)+f(2)+…+f(2004)+f(2005)+f(2006).

分析 顯然不能將12006，12005，…，2006代入求解，但是若注意到其中的對偶性，進而構造對偶式f(x)+f1x.

則f(x)+f1x=x1+x+1x1+1x=x1+x+1x+1=1+x1+x=1.

從而原式的結果為2006.

5.構造三角關系式

善于從隱蔽的數量關系中挖掘出量與量之間的特征關系，如與某些三角函數關系式相似，則可構造相關的三角函數關系式，使問題順利得解.

例5 如圖，Rt△ACB中，∠C=90°，CD⊥AB于D.

求證：AC+BC

分析 若把結論變形可構造三角函數關系式，要證AC+BC

等價于證明ACAB+BCAB0，即cosA+sinA

總之，構造的形式多種多樣，還有構造圖形，構造不等式等等，這里我們不再一一列舉了.通過對以上例題的分析，不難看出，構造法是具有創造性的思維活動，對增強解題能力，培養思維品質有著不可低估的作用.它不僅需要堅實而廣博的數學基礎知識，更需要具備敏銳的洞察力.善于由此及彼，由表及里.思考的越深，構造就越成功，方法也就越簡單，數學的魅力在于追求簡單，而解題中的巧妙構造，往往有化繁瑣為簡潔之功效，是對數學美的最好不過的一次注釋.

【參考文獻】

［1］尹建堂，劉博聞.例說三角代換法解代數題［J］.數理化學習（高中版），2003(24)：4.

［2］劉銀福.用構造法解題［J］.初中數學教與學，2003(2)：15.

［3］顧廣林.例談用構造法解題［J］.數理化學習（初中版），2006(11)：20.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文