已知不等式的解集求參數值(或范圍)問題的解決辦法

第一類 已知有理不等式的解集時常利用解集端點是相應方程的根（注意檢驗）.

例１ 關于ｘ的不等式|ｋｘ － １| ≤ ５的解集為｛ｘ| －３ ≤ ｘ ≤ ２｝，求ｋ值.

解 由題意知－３，２是方程|...... － １| ＝ ５的根.

∴|－３ｋ － １| ＝ ５且|２ｋ － １| ＝ ５，從而解方程組得ｋ ＝ －２．

例２ 若適合不等式|ｘ２ － ４ｘ ＋ ｐ| ＋ |ｘ － ３| ≤ ５的ｘ的最大值為３，求ｐ值.

解 由題意知３是方程|ｘ２ － ４ｘ ＋ ｐ| ＋ |ｘ － ３| ＝ ５的根.

∴ |ｐ － ３| ＝ ５，解得ｐ ＝ ８或ｐ ＝ －２.

當ｐ ＝ ８時，|ｘ２ － ４ｘ ＋ ８| ＋ |ｘ － ３| ≤ ５. ①

∵ ｘ２ － ４ｘ ＋ ８ ＝ （ｘ － ２）２ ＋ ４ ＞ ０，

∴不等式①?圳ｘ２ － ４ｘ ＋ ８ ＋ |ｘ － ３ | ≤ ５

?圳|ｘ － ３| ≤ －ｘ２ ＋ ４ｘ － ３

?圳ｘ２ － ４ｘ ＋ ３ ≤ ｘ － ３ ≤ －ｘ２ ＋ ４ｘ － ３

?圳２ ≤ ｘ ≤ ３. 符合題意.

當ｐ ＝ －２時，|ｘ２ － ４ｘ － ２ |＋ |ｘ － ３| ≤ ５.②

∵ ｘ ＝ ４時不等式②成立，

∴ ｐ ＝ －２不符合題意.

綜上ｐ ＝ ８.

解后反思 上面兩道例題巧妙運用了不等式與方程的內在聯系，將問題得以解決.

第二類 已知無理不等式的解集時常用的方法是利用解集端點是相應方程的根或根號下的式子等于零的根或者數形結合.

例３ 已知不等式 ＞ ａｘ ＋ 的解為４ ＜ ｘ ＜ ｍ，分別求ａ和ｍ的值.

思路１∵ ４和ｍ不是 ＝ ０的根，∴ 可以利用解集端點是相應方程的根解決.

解 由題意知４和ｍ是方程 ＝ ａｘ ＋ 的兩根.

∴ ２ ＝ ４ａ ＋ ，解得ａ ＝ .

由 ＝ ｘ ＋ 兩邊平方，得x2 - x += 0.③

∴ ４和ｍ是方程③的根，∴ ４ ＋ ｍ ＝ ４０，∴ ｍ ＝ ３６.

思路２ 利用數形結合的思想解決.

解 > ａｘ ＋ 的解為４ ＜ ｘ ＜ ｍ的幾何意義為曲線ｙ ＝ ，即拋物線ｙ2 ＝ ｘ（ｙ ≥ ０）在直線ｙ ＝ ａｘ ＋ 的上方的點的橫坐標的范圍為４ ＜ ｘ ＜ ｍ.

如圖所示：

∴ 直線ｙ ＝ ａｘ ＋ 過點（４，２）與（m，）.

代入即得a = ，m = 36.

練習 已知不等式 ≤ k（x + 1）的解集為區間［ａ，ｂ］且b - a = 1，求k值.

（答案：）.

點評 此類問題主要用到了兩大思想——方程思想與數形結合思想，而這兩個思想也是高考常考察的思想，因此應引起重視.