探討圖形變換類問題的方法和規律

軸對稱、平移與旋轉是中考的重點內容之一，在中考試卷中所占的比例約為８％，分值在１０分左右. 既有選擇題、填空題形式的低、中檔題，也有依托三角形、四邊形、函數、方程等內容編擬的綜合性題目，其中綜合性題目多為中等難度試題和較難題，有時也會出現一些難題，還有一些題目要求在網格中畫出三角形、四邊形等圖形的軸對稱、平移或旋轉后的圖形，一般為容易題. 所以備考時，要深入理解軸對稱、平移與旋轉的概念和性質，要分析圖形變換時的不變量（圖形變換，到底哪些量是不變的），并加強與其他數學知識的聯系，探討解決軸對稱、平移與旋轉類問題的方法和規律，提高綜合能力和探究能力.

１. 軸對稱類試題解答技巧

解答軸對稱類試題，一般運用軸對稱圖形的對應線段相等、對應角相等、對稱點所連線段被對稱軸垂直平分等性質，尤其要注意的是折疊是一種軸對稱，折疊前后的圖形全等.

例１ 如圖，將矩形紙片ＡＢＣＤ（圖①）按如下步驟操作：（1）以過點Ａ的直線為折痕折疊紙片，使點Ｂ恰好落在ＡＤ邊上，折痕與ＢＣ邊交于點Ｅ（如圖②）；（２）以過點Ｅ的直線為折痕折疊紙片，使點Ａ落在ＢＣ邊上，折痕ＥＦ交ＡＤ邊于點Ｆ（如圖③）；（3）將紙片展開，那么∠ＡＦＥ的度數為 .

①② ③

解析 ∠ＡＦＥ ＝ ６７．５°. 折疊是一種軸對稱變換，根據軸對稱的性質，折疊前后圖形的大小和形狀不變，位置變化，可知第一次折疊后，∠ＥＡＤ ＝ ４５°，∠ＡＥＣ ＝ １３５°，第二次折疊后，∠ＡＥＦ ＝ ６７．５°，∠ＦＡＥ ＝ ４５°，故由三角形內角和定理知，∠ＡＦＥ ＝ ６７．５°.

２. 平移、旋轉類試題的解法

平移、旋轉類試題常見于中考試題的選擇題、填空題和解答題中，有時以綜合題的形式出現. 解答平移、旋轉類試題，要分析圖形變換中的數量關系，弄清平移的距離和旋轉的角度，找到平移、旋轉的不變量. 無論是圖形的平移還是旋轉，都只是改變了圖形的位置，圖形的形狀和大小沒有改變.

例２ 已知Ｒｔ△ＡＢＣ≌Ｒｔ△ＤＥＦ并重疊在一起，其中∠Ａ ＝ ６０°，ＡＣ ＝ １. 固定△ＡＢＣ不動，將△ＤＥＦ進行如下操作：

（1）如圖１，△ＤＥＦ沿線段ＡＢ向右平移（即Ｄ點在線段ＡＢ內移動），連接ＤＣ，ＣＦ，ＦＢ，四邊形ＣＤＢＦ的形狀在不斷地變化，但它的面積不變化，請求出其面積；

（2）如圖２，當Ｄ點移到ＡＢ的中點時，請你猜想四邊形ＣＤＢＦ的形狀，并說明理由；

（3）如圖３，△ＤＥＦ中Ｄ點固定在ＡＢ的中點，然后繞Ｄ點按順時針方向旋轉△ＤＥＦ，使ＤＦ落在ＡＢ邊上，此時Ｆ點恰好與Ｂ點重合，連接ＡＥ，請你求出ｓｉｎ α的值.

解析 （1）直接求四邊形ＣＤＢＦ的面積比較困難，由ＣＦ∥ＡＢ，可將其面積轉化為△ＡＢＣ的面積，問題迎刃而解；（2）直觀的感覺，四邊形ＣＤＢＦ是菱形. 可先證其是平行四邊形，再證對角線互相垂直或鄰邊相等；（3）過Ｄ點作ＤＨ⊥ＡＥ于點Ｈ，欲求ｓｉｎ α的值，可用三角形相似先求出ＤＨ的長.

解 （1）由題意可得，四邊形ＡＤＦＣ是平行四邊形，

∴ Ｓ△ＣＦＤ ＝ Ｓ△ＡＤＣ .

∵ ＣＦ∥ＡＢ，∴ Ｓ△ＣＦＢ ＝ Ｓ△ＣＦＤ .

∵ Ｓ△ＣＦＢ ＝ Ｓ△ＡＤＣ，

∴ Ｓ梯形ＣＤＢＦ ＝ Ｓ△ＣＦＢ ＋ Ｓ△ＣＤＢ ＝ Ｓ△ＡＤＣ ＋ Ｓ△ＣＤＢ ＝ Ｓ△ＡＢＣ .

過Ｃ點作ＣＧ⊥ＡＢ于點Ｇ.

在..△ＡＧＣ中，∵ ｓｉｎ ６０° ＝ ，∴ ＣＧ ＝ .

∵ ＡＢ ＝ ２，∴Ｓ梯形ＣＤＢＦ ＝ Ｓ△ＡＢＣ ＝× ２ ×＝ ．

（２）菱形.

∵ ＣＦＡＤ，又Ｄ為ＡＢ的中點，

∴ ＣＦＤＢ．

∴ 四邊形ＣＤＢＦ是平行四邊形．

∵ ＤＦ∥ＡＣ，∠ＡＣＢ ＝ ９０°，

∴ ＣＢ⊥ＤＦ．

∴四邊形ＣＤＢＦ是菱形．

（3）過Ｄ點作ＤＨ⊥ＡＥ于點Ｈ.

∵ △ＡＤＨ∽△ＡＢＥ，

∴＝ ， ＝ ，

∴ ＤＨ ＝ ，

∴ ｓｉｎ α ＝＝＝ .