讓數(shù)學(xué)課不再平淡

小班化教育與大班化教育的目的都是為了學(xué)生的發(fā)展，但因?yàn)槿藬?shù)的變化，小班化教育與大班化的教育相比較，課堂的組織形式、教學(xué)的策略和課后的輔導(dǎo)、評價(jià)更具有靈活性和優(yōu)越性．

在過去三年的小班化教育實(shí)驗(yàn)中，作為一線教師，我感受最深的是課堂中教學(xué)的互動(dòng)性是小班化課堂的本質(zhì)特征．比如座位的擺放，是為了創(chuàng)設(shè)一個(gè)交流互動(dòng)的空間組織形式；查閱資料，收集整理，是為后繼的教學(xué)互動(dòng)提供了原始的素材積累；問題情景的創(chuàng)設(shè)，是為互動(dòng)提供了討論的主題；動(dòng)手操作，是為學(xué)生后繼的互動(dòng)討論提供了感性經(jīng)驗(yàn)；小組合作，是學(xué)生間互動(dòng)的一種方式，相互啟發(fā)，建構(gòu)概念；師生對話，是通過師生的互動(dòng)交流，適時(shí)點(diǎn)撥，總結(jié)歸納，有助于激勵(lì)學(xué)生學(xué)習(xí)；閱讀教材，寫出本章的知識(shí)框架，這是學(xué)生與教材的互動(dòng). 在互動(dòng)中，學(xué)生學(xué)會(huì)了學(xué)習(xí)，學(xué)習(xí)的能力提高了，學(xué)習(xí)更有信心了．互動(dòng)從課前的準(zhǔn)備一直到課后的延伸．本文僅就課堂上的一個(gè)案例，談一談小班化教育下的數(shù)學(xué)課堂，因?yàn)橛辛嘶?dòng)，課堂變得活力無窮．

這是一節(jié)習(xí)題課，看下面一道題目：

如圖所示，ａ∥ｂ，你能說明∠１，∠２和∠ＡＢＣ的度數(shù)關(guān)系嗎？

本節(jié)課是在七年級(jí)（下），學(xué)生學(xué)習(xí)完第七章《平面圖形的認(rèn)識(shí)（二）》后的一節(jié)習(xí)題課，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過了平行線的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和有關(guān)知識(shí)和多邊形的內(nèi)角和，從題目的難度看，學(xué)生并不覺得困難．傳統(tǒng)的“空間與圖形”的教學(xué)過分強(qiáng)調(diào)“演繹推理”的作用，課堂上知識(shí)的建構(gòu)往往被“聽數(shù)學(xué)”所代替，學(xué)生看不到數(shù)學(xué)生動(dòng)的、富有生命力的一面，沒有獲得數(shù)學(xué)成功的體驗(yàn)．學(xué)生以教師的講解加上自己的記憶，配以做大量練習(xí)的方式，代替了學(xué)生富有個(gè)性的思考，使部分學(xué)生失去了對數(shù)學(xué)的興趣和可持續(xù)性的發(fā)展．

如何能在課堂上發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性？如何能體現(xiàn)小班化教育的特色？以這節(jié)課為例，是不是我們可以先讓學(xué)生對∠１，∠２和∠ＡＢＣ的度數(shù)進(jìn)行度量，猜想結(jié)論，再證明，這就是小班化？其實(shí)，形式不重要，重要的是教師如何進(jìn)行專業(yè)的引領(lǐng)．在教學(xué)的過程中適時(shí)地把學(xué)生的思維亮點(diǎn)局部地放大，拿出來進(jìn)行研討，在不斷的引導(dǎo)中，讓學(xué)生去解決一個(gè)個(gè)新的問題．在這個(gè)過程中，除了讓學(xué)生去感受到成功，更應(yīng)該讓學(xué)生面對失敗．在師生之間的交流互動(dòng)中，最終大部分學(xué)生，甚至全部學(xué)生能正視數(shù)學(xué)，獲得提高．

這節(jié)課在實(shí)際的教學(xué)中，我是拋出若干個(gè)與本節(jié)課有關(guān)的問題，讓學(xué)生通過解決自己所熟悉的問題，并借助于多媒體的動(dòng)態(tài)演示，對問題進(jìn)行變式，讓學(xué)生在運(yùn)動(dòng)中進(jìn)行觀察，發(fā)現(xiàn)幾何圖形中的不變元素，掌握數(shù)學(xué)的本質(zhì)，比較各種證明方法的異同，從中歸納出解題方法．

問題一 如圖１，你能用數(shù)學(xué)的符號(hào)語言敘述“旗子定理”（三角形內(nèi)角和定理的推理）嗎？

學(xué)生很容易得到∠１ ＋ ∠２ ＝ ∠３．

問題二 如圖２，把△ＡＢＥ沿著ＢＥ對折，得到一個(gè)新的圖形——四邊形ＡＥＣＢ，那么，∠Ａ，∠Ｃ， ∠ＡＢＣ，∠ＡＥＣ的度數(shù)之間又有什么關(guān)系？

學(xué)生在問題一的提示下，不費(fèi)力氣地得到∠Ａ ＋ ∠Ｃ ＋ ∠ＡＢＣ ＝ ∠ＡＥＣ．

問題三 如圖３，若點(diǎn)Ｅ是∠ＡＢＣ內(nèi)任意一點(diǎn)，那么結(jié)論∠Ａ ＋ ∠Ｃ ＋ ∠ＡＢＣ ＝ ∠ＡＥＣ還成立嗎？

問題三對大部分學(xué)生而言，也沒有多少困難，比較圖３和圖２，學(xué)生自然會(huì)連接ＢＥ，并延長，轉(zhuǎn)化為圖２，得到∠Ａ ＋ ∠Ｃ ＋ ∠ＡＢＣ ＝ ∠ＡＥＣ．

學(xué)生在解決了問題三后，教師借助媒體拖動(dòng)點(diǎn)Ｅ，使得點(diǎn)Ｅ在ＡＢ上（見圖４）．把問題特殊化，滿足三角形的內(nèi)角和是１８０°．

問題四 對于圖３，拖動(dòng)點(diǎn)Ｂ，使得∠ＡＢＣ→０°，你能猜想出∠Ａ，∠Ｃ，∠ＡＢＣ，∠ＡＥＣ的關(guān)系嗎？此時(shí)，ＡＢ與ＢＣ有怎樣的位置關(guān)系？

學(xué)生對數(shù)學(xué)的了解總是從直觀開始，讓學(xué)生去猜想，這是學(xué)習(xí)者的靈感和頓悟，我們不能漠視．本節(jié)課并沒有直接拋出所要講解的習(xí)題，卻是通過復(fù)習(xí)舊有的知識(shí)，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)解決的習(xí)題，而解決問題就是運(yùn)用舊有知識(shí)的過程，從而完成習(xí)題課的教學(xué)目標(biāo)：加深對三角形內(nèi)角和定理的認(rèn)識(shí)并能證明簡單的幾何問題．

問題五 如圖５所示，ａ∥ｂ，你能說明∠１ ＋ ∠２ ＝ ∠ＡＢＣ嗎？

在備課的過程中，我預(yù)想到學(xué)生多數(shù)會(huì)給出圖６和圖７的兩種做法：

如圖６，通過點(diǎn)Ｂ作ＢＤ∥ａ，由ａ∥ｂ，得到ＢＤ∥ｂ，則∠１ ＝ ∠３，∠２ ＝ ∠４，即∠１ ＋ ∠２ ＝ ∠ＡＢＣ．

如圖７，連接ＡＣ，由ａ∥ｂ，得到∠１ ＋ ∠２ ＋ ∠３ ＋ ∠４ ＝ １８０°，而∠ＡＢＣ ＋ ∠３ ＋ ∠４ ＝ １８０°，所以∠１ ＋ ∠２ ＝ ∠ＡＢＣ．

這道題，證明的方式很多，如何能啟發(fā)學(xué)生，讓學(xué)生展開聯(lián)想？小組的討論，或許是一個(gè)解決的方法. 教師的引導(dǎo)也很重要．沒有學(xué)生的討論，就不會(huì)有思想的火花，就沒有深層次的理解．沒有了教師的幫助或者教師不能給予足夠的幫助，課堂的效率就不能得到保證．

學(xué)生自主完成這道題的結(jié)果，正如最初的預(yù)計(jì)，大部分學(xué)生都選擇了上述兩種證明的方法．而班級(jí)中的黃錦誠同學(xué)的做法卻不是這樣的．“我在ａ上取一點(diǎn)Ｄ，過Ｄ點(diǎn)作垂線，就得到一個(gè)五邊形，內(nèi)角和是１８０° × （５ － ３） ＝ ５４０°，圖中有２個(gè)９０°，所以∠３ ＋ ∠４ ＋ ∠Ｂ ＝ ３６０°，∠１ ＋ ∠３ ＝ １８０°，∠２ ＋ ∠４ ＝ １８０°，就可以得到∠１ ＋ ∠２ ＝ ∠ＡＢＣ．”

學(xué)生邊說，我邊在黑板上畫出圖８，聆聽學(xué)生的意見，并用手指在黑板上比畫. “一種新的方法就這樣誕生了”，作為教師的我及時(shí)給學(xué)生以鼓勵(lì)，雖然在語言的表述上還不是十分精練．

一石激起千層浪，“老師，ＤＥ不一定要垂直于兩條平行直線（如圖９），也有∠３ ＋ ∠４ ＋ ∠Ｂ ＝ ３６０°”．

“如果點(diǎn)Ｅ繼續(xù)往右邊移動(dòng)，Ｅ和Ｃ重合，就變成一個(gè)四邊形了（如圖１０），我就可以用四邊形內(nèi)角和是３６０°，∠３ ＋ ∠４ ＋ ∠５ ＋ ∠Ｂ ＝ ３６０°，所以∠Ｂ ＝ ３６０° － （∠３ ＋ ∠４ ＋ ∠５），而∠２ ＋ ∠４ ＋ ∠５ ＝ １８０°，所以∠１ ＋ ∠２ ＝ ∠ＡＢＣ．”胡浩同學(xué)也給出了一個(gè)想法．

“老師，如果在圖１０中能保證ＣＤ∥ＡＢ，那就更簡單了！”另一名學(xué)生在下面插了句，確實(shí)是更簡單了！

“Ｅ點(diǎn)能動(dòng)，點(diǎn)Ｄ能不能動(dòng)？”教師適時(shí)給予提示.

“Ｄ點(diǎn)與Ａ點(diǎn)重合，不就是圖７嗎？不是證明過了？”部分學(xué)生這樣想，他們已經(jīng)感受到圖形的魅力．另一部分學(xué)生在教師的提示下積極思考，又得到了圖１１及圖１２．

其中圖１２是利用旗子定理證明的. 原來數(shù)學(xué)證明是這么的有趣，所有的輔助線并不是空穴來風(fēng)，是有章可循的，是相互聯(lián)系的．課在繼續(xù)，學(xué)生的想法層出不窮．如圖１３，圖１４等（證明略）．

其中某名同學(xué)的想法，讓我感到吃驚！！！

“（如圖１５）要說明∠１ ＋ ∠２ ＝ ∠ＡＢＣ，只要說明∠３ ＋ ∠４ ＋ ∠Ｂ ＝ ３６０°，我作了條垂線，再分別作Ａ，Ｂ，Ｃ三點(diǎn)的對稱點(diǎn)，那么∠３ ＝ ∠５，∠４ ＝ ∠６，∠Ｂ ＝ ∠７，這個(gè)六邊形的內(nèi)角和是７２０°，所以一半就是３６０°，所以∠３ ＋ ∠４ ＋ ∠Ｂ ＝ ３６０°．”真是太精彩了！！！

這節(jié)課，學(xué)生不僅僅是證明了一道題，在互動(dòng)的過程中，學(xué)生學(xué)到的有知識(shí)，有數(shù)學(xué)的經(jīng)驗(yàn)積累，有數(shù)學(xué)的思想，更有情感的體驗(yàn)．