淺談觀察與實驗在數學結論發現中的重要作用

法國數學家拉普拉斯曾經說過：“即使在數學里，發現真理的主要工具也是歸納和類比，而它們的重要基礎在于觀察和實驗. ”觀察法和實驗法是自然科學研究中十分重要的方法，也是數學方法論中最基本的方法之一，可見觀察與實驗在這一過程中起的重要作用. 以下筆者就把觀察與實驗簡述成為觀察法和實驗法.

一、觀察與實驗的涵義

觀察是一種重要的心理活動，是感知的特殊形式，是有目的、有計劃的主動感知. 在數學學習和研究的過程中，常常通過觀察來收集材料，發現事實，通過認識數學的本質揭示數學的規律，探求數學的思想和方法. 但光憑觀察很多深入的數學本質很難被輕易發現，所以著名數學家歐拉也說：“數學這門科學，需要觀察，還需要實驗. ”在實驗中，人們變革和控制被研究的對象，這使實驗法比觀察法能更好地發揮人的主觀能動性，因而實驗是比觀察更有力的認識手段. 一般而言，觀察是實驗的前提，實驗是觀察的證實和發展.

二、觀察與實驗的作用

在數學學習與解題過程中，觀察和實驗起著至關重要的作用：不僅可以幫助形成數學結論、探究數學命題，而且可以幫助發現解題途徑，從而實現解題思路的突破.

1. 形成數學結論

我們從一個最簡單的數學結論來看：三角形的三個內角之和為１８０°. 這是三角形知識的入門內容，以下通過觀察法與實驗法來驗證結論的正確性：

觀察入手：以硬紙片為材料，剪出一些不同形狀的三角形，用量角器分別量出這些三角形三個內角的大小，然后求和，再把這些求和結果進行比較，感性地得出結論.

實驗輔助：如圖所示，假設所剪出的紙片為△ＡＢＣ，剪下∠Ａ，∠Ｂ，把它們和∠Ｃ拼在一起，這時發現ＣＮ恰好是ＢＣ的延長線.

通過上述的觀察和實驗，我們可以確定三角形的三內角之和為１８０°，當然具體證明過程還需要進一步給出，無疑最關鍵的一步已經邁出，相信問題也就不再難以解決了.

2. 探究數學命題

探究數學命題是數學觀察和實驗的重要目的. 如教師需要學生參與討論平行四邊形的判定方法一課，可以引導學生通過觀察和實驗得出重要的判定方法. 教師可以首先設問，啟發學生進行有目的的思考，以填空形式給出：“ 的四邊形是平行四邊形. ”學生會很自然地從定義出發，首先推測出下列這些結論：

兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；

兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；

兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；

兩組對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.

接下來教師需要引導學生通過觀察和實驗相結合去感性地認識這些重要的結論，學生積極地動手動腦，一一驗證以上命題的正確性，在這里很多實驗方法可以有機地介入，測量、比較等方法綜合應用. 在這一數學命題的發現過程中，學生的觀察、聯想、動手、實驗等等思維能力都得到了有效的鍛煉.

3. 發現解題途徑

這里我們從凸多面體的歐拉公式展開. 一般的，我們以Ｆ，Ｖ，Ｅ分別表示凸多面體的面數、頂點數和棱數. 為了得出結論，預先進行了有針對性的實驗，總結如下表：

仔細分析表格中的數據，我們可以歸納得出結論：

Ｆ ＋ Ｖ ＝ Ｅ ＋ ２.

以上得出結論的方法在數學中被稱為不完全歸納法，它是嚴格建立在觀察、經驗和實驗的基礎之上的，在中學數學中也成為數學發現、問題解決的重要途徑之一.

三、觀察與實驗應注意的原則

１. 反復滲透原則

所謂滲透性原則是指在具體的數學知識的學習過程中，一般教師不會直接點明所應用的方法，而是通過精心的設計，采用教者有心、學者無意的方式讓學生在潛移默化中逐漸領會蘊含的深意. 這一方法在觀察階段尤其重要.觀察對象確定之后，教師應該把主動權教給學生，讓學生來確定具體的觀察方向，讓學生得到自己認為滿意的觀察結果，進而確定實驗方式. 須要指出的是，滲透性原則并非始終處于從屬的隱性地位，在適當的時候教師應該把這種載體背后的思想方法顯示出來，使其形象化、明朗化，便于學生進一步的實驗操作.

２. 漸進發展原則

一個數學結論的發現必然經歷從孕育、產生到完備、提出這樣一個發展過程. 在這樣一個過程中，漸進性原則必須予以足夠的重視. 學生從觀察所得的感性認識階段要上升到實驗結果的理性化，是一個螺旋上升的過程，漸進發展原則應該貫穿始終.

３. 學生參與原則

數學學習的主體是學生，如何充分調動學生的積極性，質他們樂于參與到數學的發現中去，直接體現了觀察與實驗的價值. 事實上，無論是觀察本身或者實驗過程，真正起決定作用的是學生，學生只有親身參與這一過程，才能真正領會數學發現的真諦，掌握數學發現的方法，真正地喜歡數學，欣賞數學之美.

四、觀察與實驗體現的數學之美

美是人類創造性實踐活動的產物，是人類本質力量的感性顯現，而數學美是自然美的客觀反映，是科學美的核心. 數學之中充滿了無窮的趣味，而發現這些樂趣的過程絕不會亞于欣賞一部審美大片的感受，這種過程曲折往返，但結果卻簡潔明了，讓人賞心悅目，讓人渾身都有一種舒適優美之感. 在觀察與實驗的過程中，人們往往會經歷一種無意識的審美情感的選擇，直覺意識首先顯現，而更深入的實驗則引導我們一步一步走向美的頂點. 可見，數學之美所體現的簡潔性和統一性正是觀察與實驗應遵循的宗旨.

在這里，筆者一再強調觀察與實驗的重要作用并不排斥學生其他方面數學能力的培養，而作為最直觀的方式方法往往最容易被我們每個教育工作者輕視而和學生產生隔閡. 與之對應，學生最愿意接受的就是通過自身觀察加上動手的操作，感性地認識數學過程，體驗數學蘊含的無窮之美. 可見，在數學方法的教育過程中，作為基礎和關鍵環節的觀察與實驗應該給予更廣泛的關注.