案例: 分類討論型專題復習

一、教學目標

1. 通過具體問題讓學生體會分類討論數學思想.

2. 通過分類討論的學習讓學生掌握分類討論的標準，并能正確地進行分類，從而提高學生解決問題的綜合能力.

3. 通過分類討論的學習訓練學生思維的嚴密性以及靈活性，進而培養良好的思維品質.

二、教學重、難點

重點：學會用分類討論的數學思想解決問題.

難點：分類討論的標準的制定.

三、基礎準備

說明：當一個問題因為某種量或圖形的情況不同而有可能引起問題的結果不同時，需要對這個量或圖形的各種情況進行分類討論.設計下面六小題是為了讓學生體會分類的必要性，并能找到要分類的“量或圖形”，從而能正確分類.

１.在數軸上，點Ａ對應的數是２，那么在數軸上與點Ａ相距４個單位長度的點表示的數是 ．

２． 已知等腰三角形中，兩邊長分別是３，６，則周長是 ．

３.已知直角三角形兩邊長分別為３，４，則第三邊是 ．

４． 已知圓A和圓B相切，兩圓的圓心距為８ ｃｍ，圓A的半徑為３ ｃｍ，則圓B的半徑是 （ ）.

Ａ． ５ ｃｍ Ｂ． １１ ｃｍＣ． ３ ｃｍＤ． ５ ｃｍ或 １１ ｃｍ

５. 在⊙Ｏ中，圓心角∠ＡＯＢ ＝ ４０°，弦ＡＢ所對的圓周角等于（ ）.

Ａ． ２０°Ｂ． ８０° Ｃ．２０°或１６０° Ｄ．４０°或１４０°

四、例題精講

說明：近幾年全國各地中考數學試卷“分類討論型”試題是必考題，一部分地區的中考試卷的壓軸試題解決的主要策略是分類討論.下面結合例題探討分類討論型試題的解決策略.

題型一：與圖形位置有關的分類

例1 已知點Ｏ在直線ＡＢ上，且線段ＯＡ的長度為４ ｃｍ，線段ＯＢ的長度為６ ｃｍ，Ｅ，Ｆ分別為線段ＯＡ，ＯＢ的中點，則線段ＥＦ的長度為 ｃｍ.

分析 由于圖形位置不確定，故要分類

中考鏈接 （設計意圖：課堂時間有限，不一定讓學生都做，主要讓學生體會分類討論的數學思想） （２００８南京）如圖，已知圓Ｏ的半徑為６ ｃｍ，射線ＰＭ經過點Ｏ，ＯＰ ＝ １０ ｃｍ，射線ＰＮ與圓Ｏ相切于點Ｑ，Ａ，Ｂ兩點同時從點Ｐ出發，點Ａ以５ ｃｍ／ｓ的速度沿射線ＰＭ方向運動，點Ｂ以４ ｃｍ／ｓ的速度沿射線ＰＮ方向運動，設運動時間為ｔ（ｓ）.

（１）求ＰＱ的長度.

（２）當ｔ為何值時，直線ＡＢ與圓Ｏ相切？

題型二：與優化方案有關的分類

例２ （２００９山東濰坊）某蔬菜加工廠承擔出口蔬菜加工任務，有一批蔬菜產品需要裝入某一規格的紙箱．供應這種紙箱有兩種方案可供選擇：

方案一：從紙箱廠定制購買，每個紙箱價格為４元；

方案二：由蔬菜加工廠租賃機器自己加工制作這種紙箱，機器租賃費按生產紙箱數收取．工廠需要一次性投入機器安裝等費用１６０００元，每加工一個紙箱還需成本費２．４元．

（１）若需要這種規格的紙箱ｘ個，請分別表示從紙箱廠購買紙箱的費用ｙ１（元）和蔬菜加工廠自己加工制作紙箱的費用ｙ２（元）關于ｘ（個）的函數關系式；

（２）假設你是決策者，你認為應該選擇哪種方案？并說明理由．

分析 由于方案不確定，故要分類

中考鏈接 （２００９遼寧本溪）為獎勵在演講比賽中獲獎的同學，班主任派學習委員小明為獲獎同學買獎品，要求每人一件．小明到文具店看了商品后，決定獎品在鋼筆和筆記本中選擇．如果買４個筆記本和２支鋼筆，則需８６元；如果買３個筆記本和１支鋼筆，則需５７元．

（１）售貨員提示，買鋼筆有優惠，具體方法是：如果買鋼筆超過１０支，那么超出部分可以享受８折優惠.若買ｘ（ｘ ＞ ０）支鋼筆需要花y元，請你求出y與x的函數關系式.

（２）在（１）的條件下，小明決定買同一種獎品，數量超過１０個，請幫小明判斷買哪種獎品省錢．

題型三：與等腰三角形有關的分類

例３ 如圖，在梯形ABCD中，ＡＤ∥ＢＣ，ＡＤ ＝ ３，ＤＣ ＝ ５，ＡＢ ＝ ４，∠Ｂ ＝ ４５°． 動點Ｍ從Ｂ點出發沿線段BC以每秒２個單位長度的速度向終點C運動；動點N同時從C點出發沿線段CD以每秒１個單位長度的速度向終點D運動．設運動的時間為t（s）．

（１）求BC的長．

（２）試探究：t為何值時，△MNC為等腰三角形？

分析 由于腰的不確定，故要分類.

中考鏈接 （２００９江蘇）如圖，已知射線ＤＥ與ｘ軸和ｙ軸分別交于點Ｄ（３，０）和點Ｅ（０，４）．動點Ｃ從點Ｍ（５，０）出發，以１個單位長度／s的速度沿x軸向左做勻速運動，與此同時，動點Ｐ從點Ｄ出發，也以１個單位長度／s的速度沿射線ＤＥ的方向做勻速運動．設運動時間為t（ｓ）．

（１）請用含t的代數式分別表示出點Ｃ與點Ｐ的坐標；

（２）以點Ｃ為圓心、t個單位長度為半徑的⊙C與x軸交于Ａ，Ｂ兩點（點Ａ在點Ｂ的左側），連接ＰＡ，ＰＢ．

①當⊙C與射線ＤＥ有公共點時，求t的取值范圍；

②當△PAB為等腰三角形時，求t的值．

小結 略. 作業：略

評析 本節教學內容是中考數學二輪專題復習，那么怎么進行二輪復習一直是廣大一線教師的困惑.我想本節課的教師給出一個很好的教學示范.具體體現在這么幾點：（１）試題大多來源于課改地區中考數學試卷，沒有出現偏題、怪題，符合課標要求，具有時代性.（２）對數學思想方法（分類討論）的教學是通過試題的教學潛移默化的，學生在解決問題的同時得到了數學思想方法的熏陶，提高了學生解決問題的能力，故教學效果好.（３）在“五嚴”的背景下，一些以往靠加班加點、學生題海戰術等達到提高學生成績的方式現在行不通了，然而教學質量是學校以及教師的“生命線”，因此在“五嚴”的背景下如何提高課堂教學效率是教師首先思考的必要問題之一，本節課的教師給出一個很好的范本：每道例題之后都有中考鏈接，通過一道例題解決一類問題，起到事半功倍的教學效果，這樣就“解放”了學生，減輕了學生課業負擔.這樣就要求我們廣大一線教師對中考試題進行必要的研究，從中找出一類試題的解決策略，并授學生以漁，而非魚也，那將是我們的教育之興，學生之興也！