線段垂直平分線與角平分線的“證”與“用”

線段的垂直平分線和角平分線在北師大教材中是學習“證明二”的兩大載體，簡稱“兩線”. 這部分內容除了在完整局部公理化體系、培養學生演繹推理能力方面功不可沒之外，在解決相關證明和計算問題時，還體現出基本幾何圖形特有的解題價值.具體如下：

一、線段垂直平分線的證與用

定義 垂直于一條線段，并且平分這條線段的直線叫做這條線段的垂直平分線.

性質 線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等，三角形三邊的垂直平分線交于一點，并且這一點到三角形三個頂點的距離相等.

判定 到一條線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上.a

例１ （全國數學競賽廣東初賽試題）在等邊三角形ＡＢＣ所在平面內，存在著一點Ｐ，使△ＰＡＢ，△ＰＢＣ，△ＰＡＣ都是等腰三角形，具有這樣性質的點Ｐ共有 （ ）.

Ａ． ３個Ｂ． ６個Ｃ． １０個Ｄ． １２個

點撥與解析 欲使△ＰＡＢ，△ＰＢＣ，△ＰＡＣ都是等腰三角形，則滿足條件的Ｐ點只能在三邊的垂直平分線上，而后再以所作等腰三角形頂點為標準分類討論，運用圓規的輔助功能，不難得出結果.具體如下：分別以三角形各頂點為圓心，邊長為半徑作圓，交垂直平分線的交點就是滿足要求的點．每條垂直平分線上得３個交點，再加三角形的外心，一共１０個．

歸納與提煉

１. 線段的垂直平分線在應用時具有擺脫全等，直接得出線段相等的功能.

２. 補全線段垂直平分線基本圖形的殘缺線，往往是解決相關問題的關鍵.

二、角平分線的證與用

定義 由一個角的頂點出發，在角的內部將這個角平分成兩個相等的角的射線，叫做這個角的角平分線.

性質 角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等.三角形三個內角的平分線交于一點，并且這一點到三角形三邊的距離相等.

判定 在一個角的內部，到這個角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上.

例２ （北師大課本變式題）已知：△ＡＢＣ外角∠ＣＢＤ與∠Ａ的平分線交于點Ｆ.求證：點Ｆ在∠ＢＣＥ的平分線上.

點撥與解析 由在一個角的內部，到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上可知，欲證結論，只要說明點Ｆ到ＣＢ和ＣＥ的距離相等即可.具體如下：過Ｆ分別作ＢＤ，ＢＣ，ＣＥ的垂線段ＦＧ，ＦＨ，ＦＩ，則由角平分線性質定理可得ＦＧ ＝ＦＩ，ＦＧ ＝ ＦＨ，∴ ＦＨ ＝ ＦＩ，∴點Ｆ在∠ＢＣＥ的平分線上.

例３ （黑龍江哈爾濱）如圖１，在正方形ＡＢＣＤ中，對角線ＡＣ與ＢＤ相交于點Ｅ，ＡＦ平分∠ＢＡＣ，交ＢＤ于點Ｆ．

（１）求證：EF + AC = AB.

（２）點Ｃ１從點Ｃ出發，沿著線段ＣＢ向點Ｂ運動（不與點Ｂ重合），同時點Ａ１從點Ａ出發，沿著ＢＡ的延長線運動，點Ｃ１與Ａ１的運動速度相同，當動點Ｃ１停止運動時，另一動點Ａ１也隨之停止運動．如圖２，Ａ１Ｆ１平分∠ＢＡ１Ｃ１，交ＢＤ于點Ｆ１，過點Ｆ１作Ｆ１Ｅ１⊥Ａ１Ｃ１，垂足為Ｅ１，請猜想Ｅ１Ｆ１，A1C1與ＡＢ三者之間的數量關系，并證明你的猜想.

（３）在（２）的條件下，當Ａ１Ｅ１ ＝ ３，Ｃ１Ｅ１ ＝ ２時，求ＢＤ的長．

點撥與解析 本題是一道較為復雜的中考壓軸題，由于考生對題目隱含條件破譯不夠，再加上對角平分線基本圖形的構造缺乏自信，致使解答本題時障礙重重，無從著手.倘若看到ＡＦ和Ａ１Ｆ１分別是相應三角形的角平分線，并利用正方形的性質得到ＢＥ和ＢＥ１分別是相應三角形的另一條角平分線，于是點Ｆ和Ｆ１分別是△ＡＢＣ和△Ａ１ＢＣ１的兩條角平分線的交點，從而構造角平分線性質定理基本圖形，即將本題化繁為簡，變難到易.

歸納與提煉

１. 角平分線的性質在運用時也具有擺脫全等，直接得出線段相等的功能.

２. 補全角平分線基本圖形的殘缺線，常常是“架橋過河”，是解決相關幾何問題的關鍵.

三、線段的垂直平分線與角平分線“珠聯璧合”

例4 （北師大課本習題新證）如圖，已知Ｅ是∠ＡＯＢ的平分線上一點，ＥＣ⊥ＯＡ，ＥＤ⊥ＯＢ，垂足分別為點Ｃ，Ｄ.求證：（１）ＯＣ ＝ ＯＤ；（２）ＯＥ是ＣＤ的垂直平分線.

點撥與解析 兩次利用角平分線的性質證得ＥＣ ＝ ＥＤ，ＯＣ ＝ ＯＤ，再根據線段垂直平分線的判定證得ＯＥ是ＣＤ的垂直平分線.具體如下：

∵ Ｅ是∠ＡＯＢ的平分線上一點， ＥＣ⊥ＯＡ，ＥＤ⊥ＯＢ，∴ＥＣ ＝ ＥＤ，又∠ＥＤＯ ＝ ∠ＥＣＯ ＝ ９０°，∴∠ＥＯＤ ＝ ∠ＥＯＣ，∴∠ＯＥＤ ＝ ∠ＯＥＣ，且有ＯＤ⊥ＥＤ，ＯＣ⊥ＥＣ，∴ＯＣ ＝ ＯＤ，綜上可知，點Ｅ和點Ｏ都在線段ＣＤ的垂直平方線上，∴ＯＥ是ＣＤ的垂直平分線.

例5 （陳題新編）如圖，△ＡＢＣ的邊ＢＣ的中垂線ＤＦ交△ＢＡＣ的外角平分線ＡＤ于Ｄ，Ｆ為垂足，ＤＥ⊥于Ｅ，且ＡＢ ＞ ＡＣ，求證：ＢＥ － ＡＣ ＝ ＡＥ.

點撥與解析 補全線段垂直平分線和角平分線性質定理的兩個殘缺基本圖形，問題即可迎刃而解.具體如下：連接ＤＢ，ＤＣ，作ＤＧ⊥ＣＡ于點Ｇ．則由題意易得ＤＢ ＝ ＤＣ，ＤＥ ＝ ＤＧ，順便還可得到ＡＧ ＝ ＡＥ，進而可得出△ＤＢＥ ≌ △ＤＣＧ（ＨＬ），于是有ＢＥ ＝ ＧＣ ＝ ＡＧ ＋ ＡＣ ＝ ＡＥ ＋ ＡＣ，所以ＢＥ － ＡＣ ＝ ＡＥ.

歸納與提煉

１. 線段的垂直平分線和角平分線基本圖形往往構成復合體，形成嶄新的考查亮點.

２. 線段的垂直平分線是一條直線，判定一條直線是已知線段的垂直平分線時，只得出一個點到線段兩個端點的距離相等是不夠的.由“兩點確定一條直線”可知，還必須找到符合到該條線段兩端點距離相等的另一個點. 而角平分線是一條射線，判定一條射線是已知角的角平分線時，只要在這個角的內部找到符合到該角兩邊距離相等的一個點，就可以斷定以該角頂點為端點，并且過這一點的射線就是已知角的角平分線.