探究點的存在性問題

立體幾何中“探究點的存在性問題”是最近幾年高考中的熱點問題，同時又是難點問題之一，對于此類問題的處理方式，不少學生還不是很清楚，下面就２０１０全國高考湖南卷中的第１８題的第二問給出三種常見的解答方式，以備參考：

例 在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱DD1的中點.

（１）求直線BE與平面ABB1A1所成的角的正弦值；

（2）在棱C1D1上是否存在一點F，使B1F∥平面A1BE？證明你的結論.

解

（方法一） （２）設正方體的棱長為１，以ＡＢ，ＡＤ，ＡＡ1為單位正交基底建立空間直角坐標系，則依題意：

Ｂ（１，０，０），Ｅ（０，１，），Ａ１（０，０，１）.

∴ ＝（－１，０，１），＝（－１，１，）.

設n ＝ （ｘ，ｙ，ｚ）是平面A1BE的一個法向量，則由n#8226;BA1 = 0，n#8226;BE = 0得：-x + z = 0，-x + y + z = 0.

∴ ｘ ＝ ｚ，ｙ ＝ ｚ，取ｚ ＝ ２，可得：n ＝（２，１，２）.

設Ｆ是Ｃ１Ｄ１上的一點，則Ｆ（ｔ，１，１）（０ ≤ ｔ ≤ １）.

又Ｂ１（１，０，１）

∴＝ （ｔ － １，１，０），且B1F?埭平面A1BE.

又Ｂ１Ｆ∥平面Ａ１ＢＥ，∴ #8226;n ＝ ０，

∴（ｔ － １，１，０）#8226;（２，１，２） ＝ ０，2（t - 1） + 1 = 0，∴t = .

∴ F為C1D1的中點，說明C1D1上存在F（F為C1D1的中點）使得B1F∥平面Ａ１ＢＥ.

點評 該方法是在坐標系的前提下，設處所求點的坐標，代入滿足的條件，然后去求點的坐標，是最簡單，最實用的方法.

（方法二）

（２）在棱C1D1上存在F，使得B1F∥平面Ａ１ＢＥ.

事實上，分別取Ｃ１Ｄ１和ＣＤ的中點Ｆ，Ｇ，連接ＥＧ，ＢＧ，ＣＤ１，ＦＧ.

∵ A1D1∥B1C1∥BC，且A1D1 = BC，

∴四邊形A1BCD1是平行四邊形，∴ D1C∥A１Ｂ.

又Ｅ，Ｇ分別是Ｄ１Ｄ，ＣＤ的中點，∴ ＥＧ∥ＤＣ，∴ ＥＧ∥Ａ１Ｂ，

∴ Ａ１，B，G，E四點共面，∴ BG?奐平面A1BE，

∵四邊形C1CDD1與B1BCC1皆為正方形，F，G分別為C1D1和CD的中點，

∴FG∥C1C∥B1B且FG = C1C = B1B，

∴四邊形B1BGF是平行四邊形，∴B1F∥BG.

而B1F?奐平面A1BE，BG?奐平面A1BE，∴B1F∥平面A1BE．

∴ C1D1上存在F（F為C1D1的中點）使得B1F∥平面A1BE.

點評 該方法是先確定點的位置，然后將其變成條件，來證明該位置的點滿足題意，這種方法也不復雜，但是如何來確定該點的位置卻是個難點.

（方法三）

（２）設C1D1上存在點F，使得B1F∥平面A1BE，下面證明F為C1D1的中點：

取CC1的中點M，連接B1M，MF，EM.

∵ M，E為CC1，DD1的中點，∴ ME∥C1D1，ME = C1D1，

又A1B1∥C1D1，A1B1 = C1D1，

∴ ME∥A1B1，ME = A1B1，

∴ 四邊形A1B1ME是平行四邊形，

∴ A1E∥B1M，又A1E?奐平面A1BE ，

∴ B1M∥平面A1BE.

∵B1F∥平面A1BE，B1M∩B1F = B，B1M，B1F?奐平面B1MF，

∴平面B1MF∥平面A1BE .

設平面A1BE∩平面C1CDD1 = l，

∵ Ａ１Ｂ∥平面ＣＣ１Ｄ１Ｄ，Ａ１Ｂ?奐平面Ａ１ＢＥ，

∴ Ａ１Ｂ∥ｌ，∴ＣＤ１∥ｌ，

∵ 平面Ａ１ＢＥ∥平面Ｂ１ＭＦ，平面Ａ１ＢＥ∩平面ＣＣ１Ｄ１Ｄ ＝ ｌ，

平面Ｂ１ＭＦ∩平面ＣＣ１Ｄ１Ｄ ＝ ＦＭ，∴ ＦＭ∥ｌ，

∴ ＣＤ１∥ＭＦ，∵ Ｍ是ＣＣ１的中點∴ Ｆ為Ｃ１Ｄ１的中點．

∴ Ｃ１Ｄ１上存在Ｆ（Ｆ為Ｃ１Ｄ１的中點）使得Ｂ１Ｆ∥平面Ａ１ＢＥ. 點評 該方法是先假設存在滿足題意的點，然后通過其滿足的條件用幾何方法證明出（或求出）該點的位置，這種方法難度較大.

比較以上三種方法，第一三種方法是先假設該點存在，然后通過向量和幾何證明的方法確定出該點的位置，符合我們的正常思維順序. 而第二種方法雖然較為簡單，但需要先明確該點的位置，然后把該點的位置當成是一個條件，證明符合題意即可. 通過研究該類題目，這類探究點的存在性的題目都具有這三種解法，但是第二三種方法在實際做題過程中難度較大，如果可以的話，我們還是推薦第一種解答方法.