有關圓的幾個考查點

在完全掌握與圓有關的知識點條件下，要以軸對稱的視角理解圓的基本性質，要以運動的視角理解與圓有關的位置關系，并要靈活地與教材中其他相關知識點建立起緊密聯系. 當圓周角的頂點在圓周上運動時，同弧所對的圓周角、圓心角的位置關系會出現三種情況，圓心在圓周角內、圓周角外、圓周角邊上，而它們的數量關系是不變的，前者是后者的一半. 與圓有關的三個直角：直徑上的圓周角、切線與過切點的半（直）徑構成的角、弦與垂直于此弦的半（直）徑形成的角，從而在直角三角形中解決問題. 可以按軸對稱、折疊的動態思維感悟和理解垂徑定理及其推論. ①過圓心的直線；②垂直于此弦；③平分此弦（不是直徑）；④平分優弧；⑤平分劣弧. 由五個條件中任選兩個作為已知，則可得出其他三個結論.

已知直線與圓相切，常用方法是連接切點和圓心，構成直角三角形來解答. 求證直線與圓相切，常用方法是證明出過半（直）徑外端的直線與半（直）徑垂直. 以下四個方面是考查的熱點，也常常結合生活實際改編成試題：

一、求角的度數

例1 如圖１，ＡＢ為⊙Ｏ的直徑，點Ｃ，Ｄ在⊙Ｏ上，∠ＣＡＢ ＝ ３６°，則∠Ｄ的度數為 .

例２ 如圖２，ＡＢ，ＡＣ是⊙Ｏ的兩條弦，∠Ａ ＝ ３０°，過點Ｃ的切線與ＯＢ的延長線交于點Ｄ，則∠Ｄ的度數為 .

例３ 已知弦ＡＢ垂直平分⊙Ｏ的半徑ＯＣ，點Ｐ是⊙Ｏ上一個動點（不與Ａ，Ｂ重合），則∠ＡＰＢ的度數為 .

解析 １. ∠ＡＣＢ是直徑上的圓周角，故∠ＡＣＢ ＝ ９０°，由∠ＣＡＢ ＝ ３６°可得∠Ｂ是其余角，為５４°，而∠Ｄ與∠Ｂ是同弧所對的圓周角，∠Ｄ ＝ ∠Ｂ ＝ ５４°.

２. ∠Ｄ ＝ ３０°.連接ＯＣ，由同弧所對的圓心角等于圓周角的二倍，得∠Ｏ ＝ ２∠Ａ ＝ ６０°，再由切線與過切點的半徑構成直角，則∠Ｄ與∠Ｏ互余，故∠Ｄ ＝ ３０°.

３. ∠ＡＰＢ ＝ １２０°或６０°. 畫出草圖，分Ｐ在優弧上、劣弧上兩種情況分析，Ｐ在優弧上時結合垂徑定理構成直角三角形，角的正弦為０．５，則角為３０°，求出等腰三角形頂角、同弧所對的圓心角與圓周角的關系，此時∠ＡＰＢ為６０°；當Ｐ在劣弧上時，由圓內接四邊形對角互補，可得此時∠ＡＰＢ為１２０°.

二、求圓中線段長度

例4 小明想知道水平的廣場上大理石球的半徑，于是找了兩塊厚１０ ｃｍ的磚塞在球的兩側（如圖３），并量得兩磚之間的距離是６０ ｃｍ，則大理石球的半徑為 .

例5 如圖４，⊙Ｏ的直徑ＡＢ ＝ ２０ ｃｍ，點Ｐ在線段ＡＢ上，且ＯＰ ∶ ＰＢ ＝ ２ ∶ ３，弦ＣＤ經過點Ｐ，且∠ＡＰＣ ＝ ３０°，則弦ＣＤ的長為 .

例6 弦ＡＢ∥弦ＣＤ，ＡＢ ＝ ８ ｃｍ，ＣＤ ＝ ６ ｃｍ，⊙Ｏ的直徑為１０ ｃｍ，則弦ＡＢ與ＣＤ之間的距離為 .

例7 如圖５①，⊙Ｏ的直徑ＡＢ ＝ ２０ｃｍ，點Ｅ是半圓的三等分點，點Ｆ是弧ＥＢ的中點，在ＡＢ上找一點Ｐ，使ＥＰ ＋ ＦＰ最短，并求出最小值.

解析 4. ５０ ｃｍ. 由切線性質及圓的對稱性構造直角三角形，連接ＡＢ，ＯＣ，ＯＢ，由勾股定理列方程求解.

5. ＣＤ ＝ ８ｃｍ.易得ＯＰ ＝ ４ ｃｍ，過O作垂直于ＣＤ的線段ＯＥ，垂足為Ｅ，連接ＯＣ，ＯＣ ＝ １０ ｃｍ，結合已知∠ＡＰＣ ＝ ３０°，則ＯＥ ＝ ＯＰ ＝ ２ ｃｍ，由垂徑定理及勾股定理得ＣＤ ＝ ２ＣＥ ＝ ８ｃｍ.

6. ７ ｃｍ或１ ｃｍ. 利用垂徑定理，分ＡＢ，ＣＤ在圓心的同一側或兩側來考慮并畫圖，構造直角三角形，結合勾股定理求解.

7. Ｐ點在圓心Ｏ處時，ＥＰ ＋ ＦＰ最短＝２０ｃｍ. 結合圖５②利用軸對稱性及兩點之間線段最短，Ｅ關于ＡＢ的對稱點（Ｅ），點Ｆ、（Ｅ）形成的線段為直徑，因為弧ＦＡ（Ｅ）是１８０°的弧.

三、證明圓切線、求切線長

例8 如圖６，直線ＰＡ，ＰＢ為⊙Ｏ的切線，Ａ，Ｂ為切點，ＯＰ ＝ ２，若ＰＡ⊥ＰＢ，則ＰＡ的長為 .

例9 如圖７，△ＡＢＣ內接于⊙Ｏ，ＡＢ是直徑，點Ｄ是弧ＢＣ的中點，連接ＡＤ，交ＢＣ于點Ｆ. ①過點Ｄ作ＤＥ∥ＢＣ，交ＡＣ的延長線于點Ｅ，判斷ＤＥ是否是⊙Ｏ的切線，并說明理由；②若ＣＤ ＝ ６，ＡＣ ∶ ＡＦ ＝ ４ ∶ ５，求⊙Ｏ的半徑.

解析 8. ＰＡ ＝ ２. 連接ＯＡ，ＯＢ，由切線性質，可判定四邊形ＯＡＰＢ是正方形，從而求解.

9. ①ＤＥ是⊙Ｏ的切線. 連接ＯＤ，再由Ｄ平分弧ＢＣ（圓的對稱性）得ＯＤ⊥ＢＣ，由ＤＥ∥ＢＣ則ＯＤ⊥ＤＥ，故ＤＥ是⊙Ｏ的切線. ②半徑為５. 連接ＢＤ，∠ＡＣＦ ＝ ∠ＡＤＢ＝ ９０°（直徑上的圓周角），由已知及銳角三角函數易得ＢＤ ＝ ＣＤ ＝ ６（等弧所對的弦相等），∠ＣＡＤ ＝ ∠ＢＡＤ（等弧所對的圓周角相等），ｓｉｎ∠ＢＡＤ ＝ ｓｉｎ∠ＣＡＤ ＝ ，ＢＤ ∶ ＡＢ ＝ ３ ∶ ５，即６ ∶ ＡＢ ＝ ３ ∶ ５，則ＡＢ ＝ １０，故⊙Ｏ的半徑為５.

四、求弧長、面積

弧長ｌ ＝ ；Ｓ扇形 ＝＝ ｌＲ；圓錐側面積Ｓ側面積 ＝ πＲｌ；圓錐全面積Ｓ全面積 ＝ πＲ ｌ ＋ πＲ２. 解答弧長、扇形的面積類試題要牢記公式，并能進行靈活運用和簡單的代數變換，解答扇形、圓錐類試題時，畫出圓錐的展開圖、示意圖，會更加直觀、清楚.

例10 如圖８，在紙上剪下一個圓形和一個扇形紙片，使之恰好能圍成一個圓錐模型. 若圓半徑為ｒ，扇形的半徑為Ｒ，扇形的圓心角為９０°，則ｒ與Ｒ之間的關系是 .

解析 10. Ｒ ＝ ４ｒ. 因為圓形和扇形紙片能圍成一個圓錐模型，所以圓的周長等于扇形的弧長，故＝２πｒ，所以Ｒ＝ ４ｒ.