放縮法在初中數學競賽中的應用

【摘要】 在初中數學競賽中，經常應用放縮法解決最值問題、不定方程問題以及不等式問題與完全平方數問題等. 放縮法的靈活運用能激發學生學習數學的興趣，進一步提高學生應用數學方法分析問題和解決問題的能力.

【關鍵詞】 放縮法；數學競賽；應用

所謂放縮法就是利用不等式的傳遞性，對照證題目標進行合情合理的放大和縮小的過程. 下面結合實例談一談放縮法在解決初中數學競賽問題中的應用.

一、放縮法在最值問題中的應用

例１ 若實數ｘ，ｙ滿足｜ｘ｜ ＋ ｜ｙ｜ ≤ １，求ｘ２ － ｘｙ ＋ ｙ２的最大值.

解 ∵ ｘ２ － ｘｙ ＋ ｙ２ ＝ （ｘ ＋ ｙ）２ ＋ （ｘ － ｙ）２，

又∵ ｜ｘ±ｙ｜ ≤ ｜ｘ｜ ＋ ｜ｙ｜ ≤ １，

∴ ｘ2 － ｘｙ ＋ ｙ2 ＝ （ｘ ＋ ｙ）２ ＋ （ｘ － ｙ）２ ≤ （｜ｘ｜ ＋ ｜ｙ｜）２ ＋ （｜ｘ｜ ＋ ｜ｙ｜）２ ≤ （｜ｘ｜ ＋ ｜ｙ｜）２ ＝ １.

當ｘ，ｙ中一個為０，另一個為１時，上式等號成立． 故ｘ２ － ｘｙ ＋ ｙ２的最大值為１.

通過以上問題的解決，可以培養學生根據不等式的基本性質應用放縮法來解決最值問題的能力，上面的問題還可以做如下的變式訓練：

變式訓練 已知二次函數ｙ ＝ ｘ２ ＋ ａｘ ＋ ｂ的圖像與ｘ軸的兩個交點的橫坐標分別為ｍ，ｎ且｜ｍ｜ ＋ ｜ｍ｜ ≤ １，設滿足上述條件的ｂ的最大值和最小值分別為Ｐ和Ｑ，求｜Ｐ｜ ＋ ｜Ｑ｜的值（全國初中數學聯賽）.

二、放縮法在不等式問題中的應用

例２ 設ａ１，ａ２，…，ａｎ是ｎ（ｎ ＞ １）個互不相同的正整數，求證： ++ … ＋＜ ２．

證明 ∵ ａ１，ａ２，…，ａn是ｎ個互不相同的正整數，

∴不妨設１ ≤ a1 < a2 < …

從而有a1 ≥ １，a2 ≥ ２，…，an≥ｎ．

∴≤ ， ≤ ，…， ≤ ，

∴++ … +≤

++ … +<

1 +++ … +＝

１ ＋ １ －+-+ … +-＜ ２.

故 ++ … +＜ ２．

通過以上的問題的解決，可以培養學生根據問題的目標，進行合情合理的放大和縮小的方法來解決不等式問題的能力，進一步增強學生學習數學的興趣. 上面的問題還可以做如下的變式訓練.

變式訓練 若ｎ∈Ｎ，Ｓ ＝++ … +

求證：ｎ ＜ Ｓ ＜ ｎ ＋ １．

三、放縮法在不定方程問題中的應用

例３ 求方程 ++ =的正整數解．

解 ∵ ｘ ＋ １ ＜ ｘ ＋ ２ ＜ ｘ ＋ ３，

∴＜++< ，

∴＜< ，

解得：- < ｘ < .

∵ ｘ為正整數，∴ ｘ ＝ １．

經檢驗：ｘ ＝ １滿足題意，即方程的正整數解為ｘ ＝ １.

以上的不定方程問題還可推廣為如下問題：

例４ 已知ｘ，ｙ，ｚ都是正整數，且２８ｘ ＋ ３０ｙ ＋ ３１ｚ ＝ ３６４，求ｘ ＋ ｙ ＋ ｚ的值.

解 ∵ ２８（ｘ ＋ ｙ ＋ ｚ） ＜ ２８ｘ ＋ ３０ｙ ＋ ３１ｚ ＜ ３１（ｘ ＋ ｙ ＋ ｚ），

∴ ２８（ｘ ＋ ｙ ＋ ｚ） ＜ ３６４ ＜ ３１（ｘ ＋ ｙ ＋ ｚ）.

解得：１１ < ｘ ＋ ｙ ＋ ｚ < １３.

∵ ｘ，ｙ，ｚ都是正整數，∴ ｘ ＋ ｙ ＋ ｚ ＝ １２．

通過以上的問題的解決，不但拓寬了學生的解題思路，而且培養了學生的整體思想意識. 以上問題還可以做如下的變式訓練：

變式訓練１ 若自然數ｘ ＜ ｙ ＜ ｚ，ａ為整數，求方程 ++= ａ的自然數解．

變式訓練２ 從１開始，寫出一組連續的正整數，然后擦去一個數，其余的平均數為３５，求擦去的數是多少.

四、放縮法在完全平方數問題中的應用

例５ 求使得ｍ２ ＋ ｍ ＋ ７是完全平方數的所有正整數ｍ的值．

解 （１）當ｍ ≥ ７時，ｍ ＋ ７ ≤ ２ｍ，

于是ｍ２ ＜ ｍ２ ＋ ｍ ＋ ７ ≤ ｍ２ ＋ ２ｍ ＜ （ｍ ＋ １）２.

此時，ｍ２ ＋ ｍ ＋ ７介于兩個連續整數的平方之間，不是完全平方數.

（２）當１ ≤ ｍ ＜ ７時，ｍ ＝ １，２，３，４，５，６，經檢驗，只有當ｍ ＝ １和６時，ｍ２ ＋ ｍ ＋ ７才是完全平方數，故ｍ ＝ １或６.

通過以上問題的解決，不但學生掌握了判斷一個正整數是否為完全平方數的方法，而且培養了學生的分類討論的數學思想. 上面的問題還可以做這樣的變式訓練：

變式訓練 求使得ｍ２ ＋ ｍ ＋ ７是完全平方數的所有整數ｍ的積.

通過以上四個方面問題的探討，并根據中學數學課標中指出“要培養學生分析問題和解決問題的能力”，同時要注意數學思想方法的運用和創新意識的培養，因此，要把培養學生的“應用數學意識”落實到初中數學競賽的教學中去，使學生了解數學在各方面的廣泛應用，從而提高學生對數學競賽學習的興趣，并逐步形成應用數學的良好習慣.

【參考文獻】

［１］岑申，玉而冶.數學競賽階梯訓練［Ｍ］.杭州：浙江教育出版社，２００２.

［２］王延文.２０１０我參加了初中生夏令營數學競賽［Ｊ］.中等數學，２０１０（１１）.

［３］王延文.２００８年全國初中數學聯賽［Ｊ］.中等數學，２００８（９）.

［４］教育部.全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）［Ｓ］.北京：北京師范大學出版社，２００２．６.