數學教學中逆向思維能力及其培養

在數學教學過程中，一方面要傳授數學知識，使學生具備數學基礎知識的素養；另一方面要通過數學知識的傳授，培養學生各方面的能力，而在數學的各種能力中思維能力是核心，是發展其他能力的基礎。我們知道，思維是人們理性認識的一個過程，根據思維過程的指向性，思維分為順向思維和逆向思維。逆向思維是從已有的習慣思路的相反或否定的方面去進行思考，以產生新的觀念，經常表現為順推不行時考慮逆求，直接解決不可能時考慮間接解決，探討可能性發生困難時考慮探討不可能性等。逆向思維不是順向思維過程的簡單顛倒，而是一種與順向思維相異的發散性思維。這種思維方式有助于創造性素質的提高，有利于創造性能力的堤升。

一、培養逆向思維能力是數學教學的重要任務

逆向思維是科學發現的重要方法之一，許多數學結論都是通過這種方法得到的。在數學科學發展史上，不乏運用逆向思維取得成功的事例。如《 幾何原本 》問世后，證明歐氏第五公設的難題曾煩惱數學家達兩千年之久，后來還是羅巴切夫斯基與鮑耶大膽引用一條與第五公設完全相反的命題，各自獨立地發現了非歐幾何的廣闊天地。由于逆向思維的結果具有不確定性和多值性，也就是發散性，所以這種結果更廣泛，更深刻，更具有創造性。

另外現在社會的各個領域也處處存在著逆向思維過程。比如在人際關系上，在處理人和人之間矛盾的時候，提倡換位思考，這可以加強人和人之間的相互理解，這其實就是把逆向思維用到處理人事關系上。在商業界，公司都比較保守，它們向消費者提供產品，卻從來不透露這些產品是怎么做出來的。競爭者需要根據其產品，研究出其制造方式。具有逆向思維能力的人，能夠根據一種產品比如一粒藥片，研究出其中的成分和配方，并經過改進可以造出更好的藥。

因此，一個不具備逆向思維能力的人是很難適應當今社會發展需要的。數學教學擔負著培養學生思維能力的重要任務，要學好數學學科，無論是學習理論，還是掌握數學知識，解答習題，應用知識，自始至終都存在著積極的思維活動。而逆向思維是思維的一種方式，所以，在數學的教學過程中應努力培養學生掌握各種逆向思維的方法，提高逆向思維的能力，這對學生當前的學習和今后適應社會的需要都具有十分重要的意義，因此，培養逆向思維能力是數學教學的重要任務。

二、挖掘數學基礎知識中的逆向思維素材，培養逆向思維能力

在數學教學過程中要善于挖掘數學基礎知識中的逆向思維訓練素材，并充分利用這些素材，創設問題情境來培養學生的逆向思維能力。

1．定義教學中逆向思維能力的培養

數學概念都是充要條件，均為可逆的。它是通過揭示其本質屬性來定義的。如果說由本質屬性引出概念的思維過程是正向思維，那么由概念得出其本質屬性的思維過程就是逆向思維。因此數學中的定義都有雙向性，許多學生習慣于定義的正向應用，而忽視定義的逆向應用。在教學中，為了使學生深刻理解定義，使定義發揮更大的作用，就必須強化定義的逆用，這不僅會達到使問題解答簡捷的目的，而且對培養學生的逆向思維能力也是很有好處的。

例1：已知奇函數f（x）在定義域（-1，1）內單調遞減，且f（1-a）+f（1-a2）＜0，求a的值集。

分析：由f（x）的定義域，可得：

-1＜1-a＜1

-1＜1-a2＜1

解得：0＜a＜■ ①

逆用奇函數的定義得：f （1-a2）=-f （a2-1）

又由已知不等式得：f （1-a）＜-f （1-a2）

從而：f （1-a）＜f （a2-1），

于是逆用減函數的定義得：1-a＞a2-1

解得：-2＜a＜1 ②

故由①②可得a的值集為：{a|0＜a＜1}

例2：設f （x）=8x-22x+1，求f-1（0）。

分析：常見的方法是，先求出反函數f-1（x），然后再求f-1（0）的值。但只要我們逆用反函數的定義，令f（x） = 0，解出x的值為1，即為f-1（0）的值。所以f-1（0）=1。

2．公式教學中逆向思維能力的培養

數學公式是揭示相關數量之間關系的等式。數學公式本身是雙向的，但由于學生首先學習正用公式，更多的問題也是用正用公式解決的，因此運用公式時易遵循正用這樣的習慣順序。學生對公式的逆向運用不敏感，存在一定的困難。而在不少數學習題的解決過程中，都需要將公式逆過來用，而學生往往在解題時缺乏這種自覺性和基本功。因此，需要在教學中有意識地加強這方面的訓練，以提高學生的逆向思維能力，達到靈活運用公式的目的。

例3：計算sin14°cos16°+cos14°sin16°的值。

分析：因為14°、16°都不是特殊角，顯然直接計算是較繁的，如果引導學生逆向應用公式sin（α+β）=sinαcos β+cosαsin β，問題便得到解決。

原式=sin（14°+16°）=sin30°=■

例4：求證：2csc2α=■。

分析：可從右邊出發逆用有關公式逐步推到左邊。右邊=■（逆用公式1+tan2α=sec2α）

=■（逆用公式tanαcotα=1）

=■=tanα+cotα

=■+■=■

=■=■=2csc2α=左邊

3．定理教學中逆向思維能力的培養

定理是已經證明具有正確性、可以作為原則或規律的命題，因此，任一定理都有逆命題。不是所有的定理的逆命題都是正確的，引導學生探究定理的逆命題的正確性，既能使學生正確理解數學命題結構之間的關系，又培養了學生善于從相反方向去觀察、分析問題的逆向思維能力，并且能使學生學到的知識更加完備，而且還能激發學生去探索新的知識。如在立體幾何中，許多性質與判定都有逆定理。例如，平行平面的性質與判定、三垂線定理和三垂線的逆定理等，注意它的條件與結論的關系，加深對定理的理解和應用。又如求證Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn=2n，可思考是否與二項式定理有關？如何使n項變為一項？很快發現逆用二項式定理便可得Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn=（1+1）n=2n。另外重視逆定理的教學對開闊學生的思維視野，活躍思維都大有益處。

三、運用解證數學題的幾種典型思維方法，培養逆向思維能力

數學題的解證方法有多種，在數學教學過程中要充分利用其中的幾種典型思維方法，不失時機地對學生進行訓練來培養學生的逆向思維能力。

1．分析法教學中逆向思維能力的培養

數學中的許多問題，要得到的結論是很明顯的，但困難往往是不知道從哪里起步，如何達到這個結論。這時最好的辦法就是逆向思考，從結論出發，逐步追溯充分條件，直追溯到題目所給條件為止，其實質是“由果尋因”，這就是分析法。這是一種非常典型的逆向思維過程，也是數學解題中一種常用的方法。

例5：某市有100名學生參加圍棋比賽，采用輸一場即被淘汰的單淘汰賽，輪空者為當然勝者，每場比賽都得定出勝負，請問：共需要進行多少場比賽，才能選出冠軍？

分析：本題從目標正面直接求解，計算繁難，容易出錯，但如果改從目標反面入手，即去計算產生99名被淘汰者的比賽場數就比較容易求解。因為按比賽規則，每比賽一場就產生一名被淘汰者，100人參賽，選出冠軍一人，就相當于要產生99名被淘汰者，所以共需要比賽99場。

例6：已知正數a、b、c成等差數列，求證：a2-bc、b2-ac、c2-ab也成等差數列。

分析：要證原結論成立，只需證2（b2-ac）=a2-bc+c2-ab，即證2b2+（a+c）b=（a+c）2。又2b=a+c，所以上式成立，于是原結論成立。

2．反證法教學中逆向思維能力的培養

中國古代有一個很著名的“道旁苦李”的故事，蘊含著反證法的思想。故事說王戎小時候愛和小朋友在路上玩耍。一天，他們發現路邊的一棵樹上結滿了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，獨有王戎沒動，并說李子是苦的。等到小朋友摘了李子一嘗，原來真是苦的！他們都問王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎說：“假如李子不苦的話，早被路人摘光了，而這樹上卻結滿了李子，所以李子一定是苦的。”這則故事中王戎的論述，也正是運用了反證法。

反證法是數學中很重要的一種證題法，它首先假設命題的結論不成立，即假設結論的反面成立，然后從這個假設出發，通過正確的邏輯推理推導出一個錯誤結果，從而導致矛盾，最后判定其矛盾的產生是假設不成立所致，最終肯定命題的結論正確。實際上，反證法是先證明原命題的否定為假，所以其思維方法可以說是雙重的逆向思維。適當地運用反證法，既能提高解題的靈活性，又能培養思維的活躍性，促進思維的發展。

例7：求證■是無理數。

分析：假設■是有理數，則不妨設■=■（m、n為互質正整數），從而：（■）2=3，m2=3n2，可見m是3的倍數。

設m=3p（p是正整數），則3n2=m2=9p2，

可見n也是3的倍數。這樣，m、n就不是互質的正整數（矛盾）。

∴■=■不可能成立，∴■是無理數。

3．反例教學中逆向思維能力的培養

在數學中，肯定一個命題需要嚴格的邏輯推理來證明，否定一個命題，則只需舉出一個例子予以否定，這種例子就是反例。反例在數學發展中和證明一樣占著同樣重要的地位，這是因為在數學問題的探索中，猜想的結論未必正確，要說明正確則需要嚴格證明，要說明錯誤只需舉一個反例。數學史上著名的尺規作圖的三大難題，即三等分角問題、立方倍積問題、化圓為方問題，就是通過反例證明其不可能的。利用舉反例可以判定一個命題是假命題。反例不僅能夠幫助學生深入地理解定理的條件與結論，而且還能培養學生的逆向思維能力。因此在數學教學中必須重視反例的構造，反例必須具備命題的條件，卻不具備命題的結論，從而說明命題是錯誤的。

例如，對于有理數和無理數這兩個概念的區別，學生往往根據表面現象來判定一個數是有理數還是無理數，認為一個含有無理數的式子的組合就是一個無理數。這樣的錯誤，可通過應用反例加以糾正。比如（■+■）（■-■）就不是一個無理數，因為它的值為1。又如，函數y=f（x）在點x有導數，則必在點x連續，但反之未必成立。可舉反例，如函數y=|x|，它在x=0點連續，但在該點卻沒有導數，用此例簡潔而明確地說明了函數在一點連續是在該點有導數的必要條件，而不是充分條件。

4．排除法教學中逆向思維能力的培養

對于那些正面情況比較復雜、較難入手而反面卻比較簡單的問題，可逆向考慮其反面，從反面入手解決問題，這種解決問題的方法就是排除法。排除法不僅是一種有效的解題方法，而且還能培養學生的逆向思維能力。

例8：15件產品中有3件次品，從中任取5件，至少有1件是次品的取法有多少種？

分析：此題從正面著手，分類進行，問題可解決，但比較繁瑣。但若逆向考慮，用排除法從取出的總種數中減去不符合條件的種數，剩余的就是符合條件的種數，則較為簡便。即C155-C125=3003-792=2211。

例9：若方程x2-ax+4=0，x2+（a-1）x+16=0，x2+2ax+3a+10=0中至少有一個方程有實根，求a的取值范圍。

分析：若從正面著手，非常繁瑣，但若從反面入手，考慮其否定的命題“三個方程都沒有實數根”，則可得：

Δ1=a2-16＜0Δ2=（a-1）2-64＜0Δ3=4a2-4（3a+10）＜0

解得：-2＜a＜5

即當且僅當-2＜a＜5時，三個方程均無實根。

因此，a≤-2或a≥5時，三個方程中至少一個有實根。

綜上所述，在數學基礎知識和解題思維方法的教學中都含有豐富的培養學生逆向思維能力的素材，只要我們教師在教學中充分認識逆向思維的作用，結合教材內容，引導和培養學生的逆向思維意識和習慣，幫助學生克服單向思維定勢，注重學生的逆向思維能力的訓練和培養，定能達到提高學生逆向思維能力的目的。

（作者單位：溫州大學教師教育學院，浙江 溫州，325035）