信用等級(jí)變動(dòng)下企業(yè)破產(chǎn)概率的研究

【摘要】本文建立了企業(yè)信用等級(jí)變動(dòng)的模型。該模型包含了Yang（2003）考慮到的情形，也包含了違約情形。本文在假設(shè)信用等級(jí)轉(zhuǎn)換遵循具有吸收狀態(tài)的齊次馬氏鏈前提下，推導(dǎo)了公司破產(chǎn)后赤字的分布的遞推公式，并通過(guò)給出數(shù)值算例使得結(jié)果更加清晰。

【關(guān)鍵詞】信用等級(jí)具有吸收狀態(tài)的馬氏鏈破產(chǎn)概率遞推公式

一、引言

在保險(xiǎn)精算學(xué)科中，破產(chǎn)理論已經(jīng)成為了長(zhǎng)期研究中的熱點(diǎn)領(lǐng)域。顯然，破產(chǎn)理論與金融工程中的違約風(fēng)險(xiǎn)有著緊密的聯(lián)系。信用風(fēng)險(xiǎn)和信用衍生品是金融界興趣的焦點(diǎn)。J. P. Morgan的“信用風(fēng)險(xiǎn)度量簡(jiǎn)介”對(duì)這方面進(jìn)行了綜述，另外Das (1995)， Das and Tufano (1996)， Duffie (1998) 等也對(duì)這方面進(jìn)行了研究。Jarrow et al.(1997) 在公司信用等級(jí)的轉(zhuǎn)移服從馬氏鏈的假設(shè)前提下對(duì)其違約概率進(jìn)行了研究，Kijima and Komoribayashi (1998) 和 Yang (楊海亮，2003) 對(duì)該模型的前提進(jìn)行了進(jìn)一步拓展。Arvanitis et al. (1999) 則建立信用溢價(jià)模型，馬氏鏈狀態(tài)間的轉(zhuǎn)移代表了動(dòng)態(tài)的信用等級(jí)的變動(dòng)。在國(guó)內(nèi)，對(duì)此的研究才剛剛開(kāi)始。魏躍 (2008) 專(zhuān)門(mén)對(duì)保險(xiǎn)企業(yè)的破產(chǎn)概率進(jìn)行了研究，更早的研究則主要是假設(shè)泊松(Poisson)分布的條件下對(duì)企業(yè)破產(chǎn)進(jìn)行研究，比如：王楚和孔繁超 (2007)，蔡高玉和耿顯民 (2007)。

本文中我們將信用風(fēng)險(xiǎn)理論和破產(chǎn)概率理論結(jié)合起來(lái)，在離散時(shí)間框架下，對(duì)存在信用等級(jí)轉(zhuǎn)移公司的有限時(shí)間破產(chǎn)概率問(wèn)題進(jìn)行研究。與Jarrow et al. (1997)， Kijima and Komoribayashi (1998) 和 Yang (2003)相類(lèi)似，我們假設(shè)公司信用等級(jí)的轉(zhuǎn)移服從馬氏鏈，但與其假設(shè)的不同之處在于，我們將違約狀態(tài)考慮進(jìn)來(lái)，也即我們將馬氏鏈的假設(shè)拓展為帶有吸收狀態(tài)的馬氏鏈。從穆迪(Moody)公司的特別報(bào)告(Special Report， 1992)中可以看到，這一模型針對(duì)投資等級(jí)債券較之于投機(jī)等級(jí)債券更加合理。通過(guò)迭代方法，我們可以計(jì)算出有限時(shí)間破產(chǎn)概率的遞推公式，同時(shí)為了使問(wèn)題的說(shuō)明更加明晰，我們給出了一個(gè)數(shù)值算例。

本文的組織結(jié)構(gòu)如下：第二部分給出了數(shù)理公式與模型。第三部分我們將在考慮信用等級(jí)轉(zhuǎn)移的情況下，對(duì)公司破產(chǎn)后赤字的分布給出遞推公式。為使問(wèn)題的闡述更加清晰，第四部分則給出破產(chǎn)后赤字分布的數(shù)值算例。

二、模型

本文假設(shè)公司資產(chǎn)服從如下方程

(1)

其中u表示公司初始資產(chǎn)（或是企業(yè)可承受的最大化損失）， 為第n個(gè)時(shí)間區(qū)間內(nèi)當(dāng)公司信用等級(jí)為i時(shí)其資產(chǎn)的損益。該模型指出，在每一段區(qū)間的初期，評(píng)級(jí)機(jī)構(gòu)將提供一個(gè)信用評(píng)級(jí)來(lái)評(píng)估企業(yè)的償債能力（償付潛在的要求，也就是說(shuō)在一家保險(xiǎn)公司案例中考察其償債能力）。我們運(yùn)用具有吸收態(tài)的馬爾可夫鏈來(lái)模擬企業(yè)信用評(píng)級(jí)的動(dòng)態(tài)過(guò)程，也就是說(shuō)在我們的模型中，評(píng)級(jí)機(jī)構(gòu)定義的違約信用等級(jí)將會(huì)在我們的考察范圍中，這樣將使我們的理論研究更貼近于現(xiàn)實(shí)。

本文我們假設(shè)It遵循狀態(tài)空間為N={1， 2， …， k}的具有吸收態(tài)的齊次馬氏鏈，其中狀態(tài)1表示最高的信用等級(jí)，狀態(tài)k代表最低的投資信用等級(jí)。狀態(tài)k+1為金融企業(yè)遭遇嚴(yán)重的經(jīng)營(yíng)問(wèn)題時(shí)的狀態(tài)。在k+1狀態(tài)下，絕對(duì)不能投資于該企業(yè)，因?yàn)樗呢?fù)債有很高的違約概率。而且也很難從該種狀態(tài)下走出。這樣，我們有了第一個(gè)假設(shè)：

假設(shè)1：違約等級(jí)k+1是可吸收馬氏鏈中的吸收態(tài)。就是說(shuō)一旦企業(yè)落入這一等級(jí)，將不會(huì)再重新評(píng)入其他等級(jí)。

在穆迪的評(píng)級(jí)體系中，情形1被定義為Aaa，情形k被定義為Caa而情形k+1被定義為違約情形。相對(duì)應(yīng)的是，在標(biāo)普評(píng)級(jí)體系中，情形1被定義為AAA，情形k被定義為CCC，而情形k+1被定義為違約情形。有

假設(shè)2：資產(chǎn)組合在第n區(qū)間的變化僅僅依賴(lài)于第n期的信用評(píng)級(jí)。

假設(shè)3：對(duì)于任何固定的i =1， …， k，(m = 1， 2， …)都獨(dú)立同分布。

假設(shè)4：如果一個(gè)企業(yè)被評(píng)為違約等級(jí)，它將不會(huì)轉(zhuǎn)移到別的等級(jí)而且將被視為破產(chǎn)。因此當(dāng)我們認(rèn)定在第n期發(fā)生破產(chǎn)時(shí)，就暗示出要么或是其落入了違約等級(jí)。

使T = inf{n; (Un ≤ 0)∪(In = k +1)}為破產(chǎn)時(shí)間。在時(shí)期n或n之前的破產(chǎn)概率可被定義為：

(4)

三、破產(chǎn)概率的遞推公式

在風(fēng)險(xiǎn)理論中，精算人員熱衷于某些精算變量，尤其是破產(chǎn)后企業(yè)赤字的研究，從而確定出企業(yè)風(fēng)險(xiǎn)。本文中，我們將在考慮信用等級(jí)轉(zhuǎn)移的情況下對(duì)公司破產(chǎn)后赤字的分布給出遞推公式。這里我們使用

（5）

來(lái)描述破產(chǎn)赤字的分布。考慮到破產(chǎn)問(wèn)題的復(fù)雜性，我們必須作一些準(zhǔn)備。破產(chǎn)的條件有兩個(gè)，然后我們要將破產(chǎn)概率分解為包含于兩個(gè)命題中的兩部分。這里我們?nèi)匀贿\(yùn)用遞推程序。通過(guò)運(yùn)用如下遞推公式可獲得這一分布：

命題3.1 用

其中i0 =1， …， k。值得注意的是，因?yàn)镠ni(u+x， y) ≤ 1和F(x)為分布函數(shù)，所以其總體集中度非常明顯。

最后，我們得出破產(chǎn)赤字分布的遞推公式。

因此，類(lèi)似于前一部分，破產(chǎn)赤字的分布能夠通過(guò)以上可連接的Volterra積分方程組獲得。

四、 數(shù)值算例

這里，我們給出一個(gè)數(shù)值算例。在文獻(xiàn)中，通常假設(shè)資產(chǎn)損益分布服從正態(tài)分布，但實(shí)際上，這并不總是適合于任意一家公司。在本文中，我們選取了較多重尾分布的模型來(lái)描述資產(chǎn)組合的改變。假設(shè)資產(chǎn)損益在每個(gè)時(shí)間間隔的分布服從轉(zhuǎn)移t分布，即，為轉(zhuǎn)移參數(shù)（即）為轉(zhuǎn)移t分布的自由度。在這個(gè)例子中，我們?cè)O(shè)定=9， =2; =17， =1.5; =15， =1; =13， =0.5; =11， =0; =9， =0.5; =7， =1。通過(guò)這些參數(shù)，容易看出服從自由度為9的轉(zhuǎn)移t分布，因此其分布呈現(xiàn)出正偏和輕尾的特征，取負(fù)值的概率較小；服從自由度為7的轉(zhuǎn)移t分布，因此分布負(fù)偏呈重尾特征，取負(fù)值的概率較高。

表1給出了運(yùn)用遞推公式（5）和（6）計(jì)算出的破產(chǎn)概率的數(shù)值算例。從這個(gè)表格中，我們可以看到，如果一個(gè)公司的信用等級(jí)為1（如穆迪公司評(píng)級(jí)中的最高等級(jí)Aaa或標(biāo)準(zhǔn)普爾公司評(píng)級(jí)中的最高等級(jí)AAA），公司在接下來(lái)10年中的違約概率幾乎為0。當(dāng)信用等級(jí)下降時(shí)，違約概率就會(huì)上升。如果公司的信用等級(jí)為7（如穆迪公司評(píng)級(jí)中的最低等級(jí)Caa或標(biāo)準(zhǔn)普爾公司評(píng)級(jí)中的最低等級(jí)CCC），其將有超過(guò)20%的概率破產(chǎn)。

參考文獻(xiàn)

[1]蔡高玉， 耿顯民. 帶干擾的雙復(fù)合Poisson風(fēng)險(xiǎn)模型[J]. 大學(xué)數(shù)學(xué)， 2007， 23(1).

[2]王楚， 孔繁超. 帶干擾的雙復(fù)合Poisson模型的破產(chǎn)概率[J]. 安慶師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2007， 13(2).

[3]魏躍. 最優(yōu)投資情形下保險(xiǎn)企業(yè)的破產(chǎn)概率研究[D]. 吉林大學(xué)碩士學(xué)位論文， 2008.

作者介紹：劉敬童（1979-），女，漢族，四川鄰水人，任職于中國(guó)石油天然氣管道局新聞中心。研究方向：政治經(jīng)濟(jì)學(xué)；陳罡（1982-），男，漢族，黑龍江人，任職于華電國(guó)際電力股份有限公司。研究方向：保險(xiǎn)精算。

（責(zé)任編輯：劉琦）