JS模型的自由網格數值解法

王宏志,王 煜

(通化師范學院 數學系,吉林 通化 134002)

1 徑向基函數與Cubic 插值

徑向基函數和Cubic插值是散亂數據擬合和任意曲面生成的一種數學方法.

S(xn)=fn，n=1,2,……,N.

選定基函數φ(r):R+→R，由此可生成函數組:

φ(‖x-xn‖),n=1,2,……，N.

顯然，它們是定義在Rd上的函數.固定節點xn,則φ(‖x-xn‖)的值僅依賴于x點至xn點的徑向距離,故稱它為xn點的徑向基函數.采用這種基函數,可將待求的函數S(x)表示為

常見的徑向基函數有以下幾類：

exp(-‖x-xj‖2),

‖x-xj‖3.

最后一類即φ(‖x-xj‖)=‖x-xj‖3稱為Cubic基函數.

2 JS模型的一種等價形式

邊值條件:

初值條件:

v(x,0)=v0(x),σ(x,0)=σ0(x),

Z(x,0)=Z0(x),

其中

以下的討論中，假設參數ε>0.

上述JS模型中的動量方程可表為：

αvt-Tx=f，T=σ+εvx

(1)

(2)

由T=σ+εvx,知

Tt=σt+ε(vx)

(3)

最后，將此式和(1)式代入(3)式,并將所得方程與(1)、(2)式聯立起來,便推出JS模型的一種等價模型：

(4)

其邊值和初值條件分別為

(5)

及

T(x,0)=T0(x),σ(x,0)=σ0(x),
Z(x,0)=Z0(x),

(6)

其中σ0(0)=0.

3 自由網格的計算格式

文中利用MQ基函數求解JS模型的等價模型(4)-(6).

首先,沿時間方向將模型離散化,設

t0

為區間[t0,t*]的一個剖分,記

In=(tn,tn+1),τn=tn+1-tn,

不妨設剖分是均勻的,即τn=τ常數,

此時tn=t0+nτ，n=0,1,…,N-1.在節點t=tn上,建立如下差分方程.

(7)

這是方程(JS)的半離散近似，其中Tn=Tn(x)，σn=σn(x)和Zn=Zn(x)仍然是連續自由變量x的函數.

其中|x-xj|代表歐式空間兩點x和xj的距離,φ(|x-xj|)為MQ基函數：

φ(|x-xj|)=‖x-xj‖3.

由計算可得

另外兩個未知函數σn(x)、Zn(x)按同樣方法逼近.

配置法:將Tn(x),σn(x)和Zn(x)的近似表達式代入(7)式,令

si=xi，i=2,……，N-1,

得如下離散方程.

其中T0(si),σ0(si)和Z0(xi)由方程(6)給出.

這是以未知函數表達式中的系數為未知量的一個代數方程組，解此方程組求出這些系數即可得到所求的近似解.

參考文獻：

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[2]Golberge,M.A and C.S.Chen.On a method of Arkinson for Evaluating Domain Ontergrals in the Boundary Elemen Method[J].Applied Mathematics and Comutation,1994,60.

[3]KANSA,E.J.Multiquadrics-a scattered data approximation scheme with applications to comptational fluid dynamics-II[J].Computers with mathematics and application,1990,19.