Gauss-Markov結(jié)構(gòu)下GM估計(jì)關(guān)于線性變換的不變性

謝振中，李春雷

(邵陽(yáng)學(xué)院 理學(xué)與信息科學(xué)系，湖南 邵陽(yáng) 422000)

給出Gauss-Markov結(jié)構(gòu)

(1)

T=A'Y

(2)

這里A是任意n×m階矩陣. 這時(shí)直接討論可估函數(shù)的GM估計(jì)就顯得十分困難，為此有必要對(duì)模型(1)進(jìn)行線性變換，在進(jìn)行線性變換后的模型結(jié)構(gòu)下討論可估函數(shù)的GM估計(jì)，一般來(lái)說(shuō)，變換后的GM估計(jì)要發(fā)生改變，文獻(xiàn)[1]采用兩步最小二乘法分析了在rank(A)=m，且rank(A'X)=rank(X)=p下線性變換T=A'Y給回歸系數(shù)β的GM估計(jì)所帶來(lái)的影響.本文將文獻(xiàn)[1]中的條件減弱為rank(A'X)=rank(X)，在此情況下討論了線性變換后對(duì)GM估計(jì)所產(chǎn)生的偏差，并且給出同一可估函數(shù)的GM估計(jì)具有不變性的充分必要條件.

1 兩個(gè)引理

對(duì)于模型(1)，作線性變換T=A′Y，并假定

rank(A′X)=rank(X).

引理1 在線性變換(2)下，可估函數(shù)c′β的GM估計(jì)c′β*等于模型：

(3)

的GM估計(jì).其中H=VA，PH表示關(guān)于內(nèi)積=a′V-1b向空間u(H)的正交投影，即

PH=H(H′V-1H)-H′V-1.

證明 由E(T)=A′Xβ，Var(T)=A′VA，于是得線性模型：

(4)

當(dāng)rank(A)0可知u(A′X)?u(A′)=u(A′VA).因此可取U=0，即W=A′VA，于是

其中H=VA，PH表示關(guān)于內(nèi)積=a′V-1b向空間u(H)的正交投影，即PH=H(H′V-1H)-H′V-1，引理1得證.

下面用增加偽變量的方法來(lái)考察，有如下引理.

引理2c′β*為下列模型(5)中c′β的GM估計(jì)

(5)

其中Z是滿足

rank(A)+rank(Z)=n且Z′A=O

(6)

的任意矩陣.

證明 不妨設(shè)Z是列滿秩的，于是(6)式等價(jià)PZ+PH=I，其中PZ=Z(Z′V-1Z)-1Z′V-1，I是n階單位矩陣，于是由引理1知，c′β*是下列模型：

Y=(I-PZ)Xβ+ε

(7)

中c′β的GM估計(jì).而模型(5)中，c′β可估，且其GM估計(jì)為

(8)

上式與g一逆的取法無(wú)關(guān)，由文獻(xiàn)[2]中定理1.2.5得

(9)

這個(gè)估計(jì)就是模型(7)中c′β的GM估計(jì)c′β*.引理2得證.

2 主要結(jié)果及證明

定理1 線性交換給回歸系數(shù)帶來(lái)的偏差為

若rank(A′X)=rank(X)，由R的定義及文獻(xiàn)[2]中定理1.1.2和文獻(xiàn)[3]中的定理9可得如下推論：

(10)

證明 由于u(X′A)=u{X′A(A′V-1A)-A′X}，故

又由推論2可得

從而定理2得證.

定理3 若rank(A′X)=rank(X)，則c′β*為模型(1)中c′β的GM估計(jì)當(dāng)且僅當(dāng)c∈u{X′V-1X(X′V-1Z)⊥}，其中符號(hào)B⊥表示任意滿足B′B⊥=O且具有最大秩的矩陣.

證明 由推論2及定理2可知，若rank(A′X)=rank(X)，則對(duì)任意c∈u(X′)，有

從而定理3得證.

參考文獻(xiàn)：

[1]Gaude E.del PINO，Liner restrictions and two step least squares with applications[J].Statistics probability Litters，1994(2).

[2]王松桂.線性模型的理論及應(yīng)用[M].合肥:安徽教育出版社，1987.

[3]Margsaglia.G.A.and Styan，G. P.H.Equalities and inequalities for rangs of Matrices[J].Liner and Multiliner Algebra，2001(2).