Fáry不等式的n維推廣

王衛勤,陳 軍

(泰州師范高等專科學校，江蘇 泰州 225300)

1 引言

Fáry[1]用積分幾何方法證明了三維歐氏空間中關于閉曲面的不等式：

其中K是曲面∑上的Gauss曲率.

顯然，這個不等式中等號一定不成立.

我們也稱p為Minkowshi支函數，[3]中的P4恒為0，從而(68)[3]成立，而且結論可以改成

2 閉曲面的Fáry不等式的n維推廣

這是本文的主要結論，下面證明這個定理.

其中

p1=y1，p2=y2，p3=p，p4=…=pn=0，ω13∧ω23=k0dσ，k0=k3稱為∑的支持曲率.

可以得到

h=4，…，n

且

從而得到

定理得證.

3 結束語

Fáry不等式是經典的微分幾何不等式，重要的是將三維歐式空間中的閉曲面的Fáry不等式推廣到了高維歐氏空間中，得到了新的結果.對二維閉曲面∑，能否將|K3|改為|K|?三維閉曲面∑的面積有無類似公式?這就有待于我們進一步研究.雖然這一類是老課題[4-8]，已有幾十年的歷史，但仍不斷有新的進展，足以說明Fáry不等式的魅力所在，并且仍有進一步研究的必要與潛力.

參考文獻：

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