免賠額與停止損失保費探研

魏艷華,王丙參,徐長偉

(1.天水師范學院 數學與統計學院,甘肅 天水 741001;2.中原工學院 理學院,河南 鄭州 450007)

免賠額是指由保險人和被保險人事先約定，被保險人自行承擔損失的一定比例、金額，損失額在規定數額之內，保險人不負責賠償.免賠額是被保險人自己承擔的損失額度，因此免賠額能消除許多小額索賠，損失理賠費用就大為減少，從而可以降低保費，于是免賠額條款在財產、健康和汽車保險中得到廣泛使用.再保險是指保險人在原保險合同的基礎上，通過簽訂分保合同，將其承擔的部分風險向其他保險人進行分保的行為．對于停止損失再保險，當自留額的均值固定時其自留風險的方差最小，還可以得到更強的結論：任何厭惡風險的決策者都偏好停止損失再保險所對應的自留風險[1-5]．可見對免賠策略及停止損失再保險的研究是非常必要的，鑒于此，本文研究了免賠策略與截斷分布之間的關系，并用截斷分布刻畫停止損失再保險，對停止損失保費的計算做了初步探討．

1 截斷分布與免賠

對于滿足P(X>d)>0的給定值d，超損變量(每次賠付r,v)Y?X-d，若X>d,平均超損函數eX(d)?EY=E(X-d|X>d)，Y也稱為左截斷平移變量[5]，左截斷是因為d以下的觀測都丟棄了，平移是因為指所有的觀測量都減去了d，顯然其中S(x)=1-F(x)稱為生存函數.左刪失平移變量(每次損失r.v)Y?因為沒將小于d的值忽略而是定義為0，所以稱為左刪失，

2 停止損失保費的計算

令k=1可得

設X～N(μ,σ2)，U～N(0,1)，則X=σU+μ，于是E[(X-d)+]=E[σU+μ-d)]=

E[(X-d)+]．

設S～Γ(α,β)，

[(S-d)-(S-d)+][(S-d)+]≡0，

(S-d)k={[(S-d)-(S-d)+]+(S-d)+}k=

利用恒等式對[S-(S-d)+-d]k展開，可以計算出自留損失S-(S-d)+的矩．

設X～LN(μ,σ)2，則X=eY，其中Y～N(μ,σ2)，則

E[(X-d)+]=E[(eσU+μ-d)+]=

如果P(U≥0)=1，EU=μ，則

定理1 如果對某固定h>0有P(S=kh)=fk≥0,k=0,1…，對其他所有x有P(S=x)=0，即S是格點的，則給定d=jh，j為非負整數，則有

證明

E[(S-d)+]=∑x>d(x-d)f(x)=

特別有:令d=(j+1)h，則有

E[(S-jh)+]-h[1-F(jh)].

證明由于F(x)=F(a)，所以當a≤x≤b時，

E[(S-a)+]-(d-a)[1-F(a)].

令d=b可得

代入上式可得結論成立.

參考文獻：

[1]王丙參,魏艷華,冉延平.停止損失再保險[J]齊齊哈爾大學學報,2009,25(2):76-77.

[2]魏艷華,王丙參,宋立新.合作保險與最佳競爭力[J].重慶文理學院學報,2010,29(2):1-3.

[3]魏艷華,王丙參,徐長偉.停止損失保費的計算與近似[J].天水師范學院學報,2010,30(5):18-20.

[4]紀玉卿,曹玉松.最優成熟再保險決策模型研究[J].數 學的實踐與認識,2008.38(15):98-101.

[5]Klugman S A ,Panjer H H.損失模型從數據到決策[M].吳嵐,譯.北京:人民郵電出版社,2009.

[6]R.卡爾斯.現代精算風險理論[M].唐啟鶴,胡太忠,成世學,譯.北京:科學出版社,2005.