連續(xù)小波變換在探地雷達(dá)信號(hào)分析中的應(yīng)用研究

黃 敏，朱德兵，郭政學(xué)，王樹敏

（1.河南省煤田地質(zhì)局 物探測(cè)量隊(duì)，河南 鄭州 450009；2.中南大學(xué) 地球科學(xué)與信息物理學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410083）

連續(xù)小波變換在探地雷達(dá)信號(hào)分析中的應(yīng)用研究

黃 敏1，朱德兵2，郭政學(xué)1，王樹敏1

（1.河南省煤田地質(zhì)局 物探測(cè)量隊(duì)，河南 鄭州 450009；2.中南大學(xué) 地球科學(xué)與信息物理學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410083）

廣泛應(yīng)用于工程勘探的探地雷達(dá)，由于其發(fā)射的高頻電磁波在介質(zhì)中迅速衰減、受環(huán)境噪聲大等因素影響，探測(cè)剖面難以對(duì)相對(duì)較深的異常體有較好的響應(yīng)。復(fù)信號(hào)分析提取三瞬參數(shù)可多角度分析信號(hào)，并能突出弱反射信息，但易受噪聲干擾，且常規(guī)的濾波方法不能有效地去除這一干擾。將具有時(shí)～頻雙重局限性的小波變換引入到復(fù)信號(hào)分析中，解決了復(fù)信號(hào)分析易受噪聲干擾的問題，恢復(fù)了其對(duì)異常提取的能力。將此算法用于實(shí)際雷達(dá)探測(cè)數(shù)據(jù)處理中，取得了良好的應(yīng)用效果。

連續(xù)小波變換；復(fù)信號(hào)分析；探地雷達(dá)；異常提取

0 前言

探地雷達(dá)具有輕便靈活，適應(yīng)性強(qiáng)，工作效率高，無損、分辨率高等諸多優(yōu)點(diǎn)，在淺層地球物理勘探中有著廣泛的應(yīng)用［1］。探地雷達(dá)數(shù)據(jù)剖面直觀，在信噪比較高、探測(cè)效果較好的情況下，能直接根據(jù)原始剖面進(jìn)行解釋、解譯。但在大多數(shù)情況下，環(huán)境噪聲大，淺層干擾嚴(yán)重，地質(zhì)結(jié)構(gòu)復(fù)雜或者所需探測(cè)深度較大，剖面往往不能直觀解釋。并且由于雷達(dá)發(fā)射的高頻電磁波在介質(zhì)中傳播時(shí)衰減迅速，造成利用所接收的弱反射電磁波信號(hào)解釋困難。所以怎樣從復(fù)雜的原始數(shù)據(jù)剖面中提取弱反射信號(hào)，進(jìn)行圖像解譯和異常分析對(duì)雷達(dá)資料的解釋尤為重要。許多學(xué)者進(jìn)行過相關(guān)的研究，柳剛等人［2～5］研究過小波變換在信號(hào)去噪和弱信號(hào)提取上的應(yīng)用，但所用的都是離散小波變換，分解和重構(gòu)較為粗糙。張英德等人［6～8］采用 Hilbert－Huang變換對(duì)信號(hào)進(jìn)行分析和處理，但其存在瞬時(shí)頻率波動(dòng)，嚴(yán)重時(shí)還會(huì)出現(xiàn)附加的虛假成份，對(duì)信號(hào)的最高分析頻率只能達(dá)到采樣頻率的1／4以下，信號(hào)的分析受到了限制［9］。

1 小波復(fù)信號(hào)分析弱信號(hào)提取的理論基礎(chǔ)

1.1 相位、頻率分析法的優(yōu)勢(shì)

球面電磁波在均勻介質(zhì)中傳播可用式（1）表示［10］。

其中 E0為天線的初始輻射電場(chǎng)強(qiáng)度；φ0為初始相位；波數(shù)k＝α＋jβ；α為相位常數(shù)；β為衰減系數(shù)。

此時(shí)電磁場(chǎng)的相位表示為式（2）。

φ1＝ω0t＋φ0＋αr （2）

當(dāng)?shù)叵麓嬖诜瓷湎禂?shù)為R的反射體時(shí)，其反射的電磁波表示為式（3）。

這時(shí)反射電磁波的相位為式（4）。

對(duì)比式（2）和式（4）可以得出這樣的結(jié)論：

（1）當(dāng)存在異常體反射時(shí)，其電磁波的相位會(huì)引入由異常體產(chǎn)生的相移arg［Rδ（t－t1）］。

（2）角頻率為相位的導(dǎo)數(shù)，同樣由于異常體的引入，會(huì)產(chǎn)生arg′［Rδ（t－t1）］／2π的頻移。

由于信號(hào)的相位、頻率均與振幅無關(guān)，因此對(duì)信號(hào)的相位分析、頻率分析可以同等大小來反映異常體反射信號(hào)，能更好地從弱反射信號(hào)中提取出相應(yīng)的地質(zhì)信息，這是振幅分析所不能比擬的。

1.2 探地雷達(dá)數(shù)據(jù)的復(fù)信號(hào)分析

由于相位、頻率分析法在弱信號(hào)提取上具有優(yōu)勢(shì)，提取信號(hào)中的相位、頻率信息能更好地對(duì)雷達(dá)記錄做出正確的解譯。復(fù)信號(hào)分析能分離信號(hào)中的振幅、相位信息。

探地雷達(dá)系統(tǒng)中的反射信號(hào)可由式（5）表示［11］：

a（t）為信號(hào)的包絡(luò)，其頻帶寬度Δω遠(yuǎn)小于ω0，一般我們認(rèn)為雷達(dá)反射信號(hào)f（t）為窄帶信號(hào)。f（t）的希爾伯特變換）如式（6）表達(dá)：

其中 φ（t）＝ω0t＋θ（t）。

從式（7）中可以得到分析信號(hào)的三瞬參數(shù)：瞬時(shí)振幅a（t），瞬時(shí)相位φ（t）及其導(dǎo)數(shù)瞬時(shí)角頻率ω（t），分別如式（8）、式（9）、式（10）所示。

在許多文獻(xiàn)［6、12、13］中，都將瞬時(shí)相位表示為：，其主值范圍為（－π／2，π／2）。實(shí)際情況下f（t）取值可以為零，但在計(jì)算和成圖時(shí)，要求f（t）≠0，這就造成相位－π／2和π／2的缺失；在過f（t）取值為零的點(diǎn)時(shí)，出現(xiàn)相位的跳變，并在求導(dǎo)計(jì)算瞬時(shí)頻率時(shí)，出現(xiàn)尖峰脈沖。因此用該式表示相位所計(jì)算出的瞬時(shí)相位剖面和雷達(dá)記錄剖面，不能保持良好的對(duì)應(yīng)關(guān)系，且使瞬時(shí)頻率剖面分辨率極低。由于反正弦和反余弦函數(shù)不存在這樣的問題，用其表達(dá)瞬時(shí)相位優(yōu)于反正切。用反余弦函數(shù)表示相位時(shí)，為使其取值和成圖時(shí)與原始雷達(dá)記錄剖面保持一致，將其相移π／2，使其取值區(qū)間為 ［－π／2，π／2］，其表達(dá)式為：

圖1（a）和（b）分別展示的是200MHz天線正對(duì)鋁板，前后移動(dòng)范圍為1m～23m時(shí)，對(duì)采集的數(shù)據(jù)采用反正切和反正弦表達(dá)式所計(jì)算出的瞬時(shí)相位剖面圖。可以看出，采用反正切計(jì)算出來的瞬時(shí)相位剖面，不如反正弦計(jì)算出來的對(duì)弱反射信息的反映效果好。

下頁圖2中的（a）和（b）分別展示了對(duì)用反正切和反正弦表達(dá)式求取瞬時(shí)相位求導(dǎo)而計(jì)算出的單道瞬時(shí)頻率的對(duì)比圖。同樣可看出，由反正切計(jì)算的瞬時(shí)相位求導(dǎo)得到的瞬時(shí)頻率，由于相位的突變而出現(xiàn)大量的尖峰脈沖，這使得利用瞬時(shí)頻率剖面對(duì)探測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行解釋變得極為困難。

圖1 計(jì)算瞬時(shí)相位剖面Fig.1 Arctangent（a）and arcsine（b）calculate the instantaneous phase profile

在對(duì)信號(hào)進(jìn)行復(fù)信號(hào)分析過程中，信號(hào)中的噪聲也被放大，使得多參數(shù)信息受噪聲干擾嚴(yán)重，這給信號(hào)多參數(shù)分析帶來了困難，甚至對(duì)數(shù)據(jù)的解釋和判讀還不如原始信號(hào)。復(fù)信號(hào)分析方法的這種缺陷限制了其應(yīng)用范圍。圖2 計(jì)算單道瞬時(shí)頻率Fig.2 Arctangent（a）and arcsine（b）calculate the instantaneous frequency of single－channel

1.3 探地雷達(dá)數(shù)據(jù)的小波復(fù)信號(hào)分析

1992年 Mallat提出李氏（Lipschitz）常數(shù)，可以用來衡量信號(hào)的奇異性［15］，并證明通過某點(diǎn)小波變換的極大模可以求取此點(diǎn)的李氏常數(shù)。若某點(diǎn)x0的李氏常數(shù)為a，當(dāng)｜x－x0｜＜δ時(shí)，δ為任意的正實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）的小波變換滿足｜Wsf（x）｜≤ksa，其中k為正實(shí)數(shù)，s為小波變換的尺度。信號(hào)的李氏常數(shù)取值區(qū)間為［0，1］，因而信號(hào)的小波變換的極大模將隨尺度s的增加而增大；相反的，噪聲的李氏常數(shù)小于零，噪聲的小波變換的極大模將隨尺度s的增加而減小。現(xiàn)證明隨機(jī)噪聲的李氏常數(shù)a為負(fù)數(shù)。

設(shè)n1（x）為隨機(jī)噪聲，其方差為σ2，則：

其中 ψs＝ψs（x－v）ψs（x－u）。

那么 E（｜Wsn1（x）｜2）＝ ‖ψ‖2σ2／s，其中E（·）表示求其期望，‖·‖表示求其L2（R）的范數(shù)。可看出噪聲在小波算子作用下，其模平方的平均值隨尺度s的增加而以的速度下降。因此，噪聲將隨著小波變換的尺度的增大而得到很好的壓制。

利用有用信號(hào)和噪聲小波變換的極大模隨小波變換尺度的變化的規(guī)律，不僅可以區(qū)別有用信號(hào)和噪聲，還可以有效地壓制噪聲。小波復(fù)信號(hào)分析就是將小波分析引入到復(fù)信號(hào)分析中，能更好地對(duì)信號(hào)進(jìn)行有效的多參量分析，從多個(gè)角度分析雷達(dá)剖面使得解譯更準(zhǔn)確。

圖3展示的是對(duì)一探測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行瞬時(shí)頻率分析，不但受到了高頻的噪聲干擾，還存在一定的尖峰脈沖。對(duì)其進(jìn)行連續(xù)小波正變換，其時(shí)間～尺度域幅值圖如圖4所示，重構(gòu)尺度11～32，得到處理后的瞬時(shí)頻率曲線如圖5所示（見下頁），可看出噪聲和尖峰得到很好的壓制。因此對(duì)復(fù)信號(hào)分析的剖面做小波處理能大大增強(qiáng)其可視效果。

1.4 連續(xù)小波變換及反變換的程序?qū)崿F(xiàn)

式（13）給出了連續(xù)小波變換（CWT）定義：

連續(xù)小波變換重構(gòu)公式為：

a≠0，a、b∈R。由函數(shù)ψ（t）經(jīng)過尺度伸縮和平移得到。

待處理的信號(hào)進(jìn)入計(jì)算機(jī)前須離散化，連續(xù)小波變換在計(jì)算機(jī)上程序?qū)崿F(xiàn)過程為：

（1）首先對(duì)離散信號(hào)xn做離散傅里葉變換，如式（15）所示。

（2）再對(duì)小波基進(jìn)行傅氏變換后就得到信號(hào)xn連續(xù)小波變換，如式（16）所示。

其中 s為尺度；dt為采樣間隔，ωk如式（17）。

（3）最后進(jìn)行連續(xù)小波變換重構(gòu)，其重構(gòu)公式為：

圖5 單道信號(hào)小波瞬時(shí)頻率曲線Fig.5 Single－channel signal wavelet instantaneous frequency curve

2 實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的小波復(fù)信號(hào)處理

下面是一段鐵路實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，由于噪聲的干擾且深部反射信號(hào)微弱，深部異常體難以識(shí)別。

其原始數(shù)據(jù)剖面和去除水平干擾后的剖面分別如圖6、圖7所示。

對(duì)去水平干擾后的原始數(shù)據(jù)進(jìn)行復(fù)信號(hào)分析得到多參數(shù)剖面，如圖8所示（見下頁）。可以明顯看出，雖然復(fù)信號(hào)分析剖面中瞬時(shí)相位剖面比原始數(shù)據(jù)剖面對(duì)深部弱信號(hào)具有更好的反映，但復(fù)信號(hào)分析受到嚴(yán)重的噪聲干擾。

經(jīng)小波復(fù)信號(hào)分析，得到小波復(fù)信號(hào)分析剖面，如圖9所示（見下頁）。可以看出，復(fù)信號(hào)分析中的噪聲得到了很好的壓制，剖面更加清晰，尤其是小波瞬時(shí)相位、小波瞬時(shí)頻率能更好地提取深部介質(zhì)弱反射信號(hào)。

在原始數(shù)據(jù)中，很難辨認(rèn)繞射弧，在小波瞬時(shí)相位、小波瞬時(shí)頻率剖面圖中得以清晰的展現(xiàn)。小波瞬時(shí)振幅剖面也能較好地展示道床的起伏形態(tài)。因此采用小波復(fù)分析提取深部的弱信號(hào)的方法切實(shí)可行。

3 結(jié)論

在當(dāng)前技術(shù)條件下，地質(zhì)雷達(dá)的發(fā)射功率有限，因而接收的深部反射信號(hào)甚是微弱，其應(yīng)用的勘探深度受到限制，弱信號(hào)的提取問題一直備受關(guān)注。小波復(fù)信號(hào)分析綜合了復(fù)信號(hào)分析對(duì)弱信號(hào)的提取能力和連續(xù)小波變換對(duì)噪聲的壓制能力，能更好地對(duì)弱信號(hào)進(jìn)行識(shí)別，提高地質(zhì)雷達(dá)的勘探能力和勘探效果。

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P 631.4

A

10.3969／j.issn.1001－1749.2012.05.17

1001—1749（2012）05—0593—06

2011－12－19 改回日期：2012－04－18

黃敏（1985－），男，回族，湖南常德人，碩士，主要從事電磁法勘探工作。