初中數學《多邊形內角和》教學實錄與評析

袁明霞

（撫順市第五十中學，遼寧 撫順 113000）

初中數學《多邊形內角和》教學實錄與評析

袁明霞

（撫順市第五十中學，遼寧 撫順 113000）

一、教學設計與策略

（一）教學設計的指導思想及依據

新課程標準提出：課程內容要反映社會的需要，數學特點要符合學生的認知規律。教學活動是師生積極參與、交往互動、共同發展的過程。在課堂教學活動中，教師應激發學生的興趣，調動學生的積極性，引發學生的數學思考，鼓勵學生的創造性思維。教師要注重培養學生良好的數學學習習慣，使學生掌握恰當的數學學習方法。

（二）教學策略的選擇與設計

筆者在《多邊形內角和》一節中，共設計了7個數學活動，其中第2、3、4活動通過采取小組合作學習策略來組織課堂教學和學習。這樣既能做到學生積極參與，學生共同發展，同時也能培養學生的數學學習習慣與濃厚的學習興趣。

（三）教學目標

知識目標：

①通過測量、類比、推理等數學活動，探索多邊形的內角和公式，讓學生感受數學思考過程的條理性，發展學生推理能力和語言表達能力。

②通過多邊形轉化成三角形的教學，讓學生體會轉化思想在幾何中的運用，同時也讓學生體會從特殊到一般的認識問題的方法。

③通過探索多邊形內角和公式，讓學生經歷從實驗幾何過渡到論證幾何的過程。

過程與方法：通過探索多邊形內角和公式，讓學生嘗試從不同角度去尋求解決問題的方法并能有效地解決該問題。

情感態度與價值觀：通過猜想、推理等數學活動，讓學生感受到數學活動充滿著探究以及數學結論的確定性，以此來提高學生學習數學的熱情。

（四）教學重點和難點

重點：探究多邊形內角和公式。

難點：探究多邊形內角和時，如何把多邊形轉化成三角形。

（五）教學方法

引導發現法、討論法。

（六）教具、學具、教學媒體

教具：多媒體課件。

學具：三角板、量角器、紙板、剪子。

教學媒體：大屏幕、實物投影。

二、教學過程實錄

（一）創設情境，設疑激思

師：（計算機顯示生活中的圖片）同學們你能從下列圖片中找出我們熟悉的多邊形嗎？

生1：能。有三角形、長方形、四邊形、八邊形、六邊形、五邊形。

師：大家都知道三角形的內角和是180°，那么四邊形的內角和你知道是多少嗎？

（學生思考，教師演示四邊形圖1、圖2、圖3）

師：請同學們借助老師準備的四邊形紙板及學具，小組交流，找出共有幾種解決此問題的方法？（學生在獨自探索的基礎上，學生分組交流與研討，并匯總解決問題的方法）

生2：用量角器量出四個角的度數，然后把四個角加起來，發現內角和是360°。

生3：把兩個三角形紙板拼在一起構成一個四邊形，發現兩個三角形內角和相加是360°。

接下來，教師在生3的基礎上引導學生利用作輔助線的方法，連結四邊形的對角線，把三個四邊形分別轉化成兩個、多個三角形。

生4：因為有生3的啟發，在四邊形內或在四邊形邊上找一點，把一個四邊形轉化成幾個三角形，進而也能得出四邊形的內角和是360°。

師：你們的反應真快！

（二）新課講授

師：數學的學習往往可以將未知的知識轉化為已經學過的知識來解決問題，那你能用連接對角線的方法探索五邊形、六邊形的內角和嗎？

（學生思考，教師觀察學生的表情，了解學生的對問題理解情況。學生很快先獨立思考，并將自己的想法說給同組同學）

生5：把五邊形分成三個三角形，3個三角形的內角和是540°。

生6：從五邊形內部一點出發，把五邊形分成五個三角形，然后用5個180°的和減去一個周角360°，結果得 540°。

生7：從五邊形一邊上任意一點出發把五邊形分成四個三角形，然后用4個180°的和減去一個平角180°，結果得540°。

生8：把五邊形分成一個三角形和一個四邊形，然后用 180°加上 360°，結果得 540°。

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（在此過程中，教師關注的是，學生能否用類比四邊形的方式來解決問題并得出正確的結論，學生是否還能采用其他的方法來解決該問題）

師：你真聰明！做到了學以致用。

（學生總結的方法太好了，學生之間配合的默契，講解的完美，使筆者認識到，只有培養學生學習的興趣、主動性，才能真正把課堂還給學生。在得到五邊形的內角和之后，同學們又認真地討論起六邊形的內角和。類比四邊形、五邊形的討論方法最終得出，六邊形內角和是 720°）

師：你能繼續探索多邊形的內角和嗎？從多邊形其中的一個頂點出發引對角線，分析三角形的個數與多邊形邊數的關系，多邊形的內角和與多邊形邊數的關系你能填出嗎？

多邊形的邊數 3 4 5 6 7 … n分成的三角形個數 1 …多邊形的內角和 180° …

（教師的追問使學生的思維向縱深進一步發展。學生沉思一會兒自動開始填寫，很快學生就填出了結果）

師：我們通過多邊形轉化成三角形這種思想，體會了從特殊到一般的認識問題的方法。你能運用多邊形內角和公式解決問題嗎？

例1：如果一個四邊形一組對角互補，那么另一組對角什么關系？

生9：利用本節的知識點四邊形內角和為360°，可得出，如果一個四邊形一組對角互補，那么，另一組對角和為360°-180°=180°，所以另一組對角也是互補的關系。

師：你的想法太好了，反應也太快了！

（教師板演，學生敘述過程）

例2：在六邊形的頂點處各取一個外角，這些外角的和叫做六邊形的外角和，六邊形的外角和等于多少？

生10：利用多邊形的內角和及鄰補角的性質，可得出，六邊形的外角和=180°×6-（6-2）×180°=360°

師：同學們，你能進一步發揮你的智慧猜想任意一個n（n＞3）邊形的外角和是多少嗎？

生11：類比六邊形的外角和的求法，可得出，任意一個 n（n＞3）邊形的外角和=180°n-（n-2）×180°=360°

師：同學們你們的思維真敏捷，相信同學們積極思考，大膽猜想，數學的美妙會時時出現。下面讓我們共同比一比，賽一賽看誰思維更快。

（三）鞏固練習

師：請看題（計算機顯示）口答：

①七邊形內角和（ ）②九邊形內角和（ ）③十邊形內角和（ ）

（學生讀題思考，很快就有多數學生舉手）

師：你們回答的非常正確。看下面的問題，看看誰反應的最快？搶答：

①一個多邊形的內角和等于1260°，它是幾邊形？

②一個多邊形的內角和是1440°，且每個內角都相等，則每個內角的度數是（ ）度。

③多邊形的邊數增加1，內角和就增加（ ）度；多邊形的邊數由7增加到10，內角和增加（ ）度。

④一個多邊形內角和與外角和相等，它是（ ）邊形。

⑤一個多邊形的每個外角都是36°，這個多邊形是（ ）邊形。

⑥已知某多邊形的內角和與外角和的比為9：2，則它是（ ）邊形。

（問題一拋出，就有近二分之一的學生有了答案，但是教師有意“慢”節奏，關注了全體學生，同時也是給學生充足思考時間，進而達到了學生是學習的主體，教師是學習的組織者、引導者、合作者。師生互相糾正達到了鞏固練習的效果）

（四）拓展與延伸

師：老師有一個設想：2008年奧林匹克運動會是在北京舉行的，我想設計一個內角和是2008°的多邊形圖案是多么有紀念意義呀，老師的想法能實現嗎？

生12：不能。因為根據n（n＞3）邊形的內角和為（n-2）×180°，說明多邊形的內角和一定是180°的整數倍，而2008°不是180°的整數倍，所以不能實現。

（學生的表述太完美了，我不由自主地為學生鼓起掌）

師：你能挑戰自我嗎？現在有一張四方形的桌面，現在鋸掉它的一個角，剩下殘余桌面所有的內角和是多少？有幾種情況？

生13：是180°，剩下殘余桌面是三角形。

生14：我的想法與他不同。

師：說說你的看法。

生14：還可以是540°，剩下殘余桌面是五邊形。

生15：我的想法與他們都不同。

師：說說你的看法。

生15：還可以是360°，剩下殘余桌面是四邊形。

師：他們的想法對嗎？

生16：他們的想法都對。（學生上黑板演示）若沒有過任一個頂點鋸掉它的一個角，剩下殘余桌面是五邊形。若過一個頂點，但不是對角線鋸掉它的一個角，剩下殘余桌面是四邊形。若過一條對角線鋸掉它的一個角，剩下殘余桌面是三角形。

師：太精彩了。（學生的演示非常出色，自信、智慧的學生時時令我驕傲）

（五）總結歸納

師：下面請同學們想一想你這節課有哪些收獲？

生17：我學會了多邊形的內角和與它的邊數的關系，以及多邊形的外角和公式，并學會了轉化與分類的數學方法。

生18：我體會到了同學之間的相互交流學習的快樂。同學之間有不同的方法，通過小組交流，能讓我的思維得到更高的提高。

三、教學反思

（一）教的轉變

本節課，教師始終把學生的學習定位在自主探究知識基礎上，教師從知識的傳授者轉變為學生學習的組織者、引導者、合作者與共同研究者。教師在引導學生小組討論，動手畫圖、測量、剪、折等活動過程中，充分調動學生自己去發現結論，激發學生自覺探究數學問題，讓學生體驗到了合作學習所帶來的樂趣。

（二）學的轉變

學生的角色從學會轉變為會學。本節課學生不是僅停留在對一個問題的掌握，更主要的是學生掌握了學習數學的方法與技巧，增加了探索學習的熱情，體驗到了學數學的樂趣，同時學生也感受到了站在研究者的角度深入其境的探究數學的樂趣。

（三）課堂氛圍的轉變

整節課以“流暢、開放、合作、引導”為基本特征，教師對學生的思維減少干預。整節課學生與學生，學生與教師之間以“討論”“互學”“互助”為出發點，以互助合作為手段，以發現和解決問題為目的，通過猜想、推理等數學活動，學生感受到了數學活動充滿著探究以及數學結論的確定性，提高了學生學習數學的熱情。讓學生在一個比較寬松的環境中自主選擇獲得成功的方向，判斷發現的價值。

張華偉）