非連續粗糙多界面接觸變形和能量損耗特性研究

肖會芳，邵毅敏，周曉君

(重慶大學 機械傳動國家重點實驗室，重慶 400030)

動力系統中，結構之間通過界面進行動力耦合和能量傳遞。由于動力系統結構的復雜性，往往是多結構，非連續多界面的相互耦合與相互作用。同時，實際工程結構表面，并非絕對平面，而是具有不同程度的粗糙度［1-4］。振動與能量經過這些非連續的粗糙多界面時，具有怎樣的損耗行為與傳遞機理，對描述動力系統的振動特性與能量特性至關重要，也是研究較少的難題。

本文在對非連續單一結構界面的變形與能量損耗進行研究的基礎上［5］，通過建立“多層粗糙金屬板-剛性平面”的多界面模型，采用有限元方法，對加載與卸載過程中，具有不同粗糙界面形貌、不同塑性變形-硬化行為和界面摩擦的多層疊加模型多界面的接觸力和變形進行計算，分析了多層疊加結構非連續多界面的塑性變形及硬化引起的能量損耗，討論了能量在多界面傳遞時沿接觸界面的損耗特性，以及界面摩擦對塑性變形-硬化引起的能量損耗的影響。

1 “多層粗糙金屬板－剛性平面”模型

1.1 模型描述

螺栓連接是機器設備最主要的零部件連接方式之一，在不同零部件的結合面產生的振動能量耗散占機器設備總能量耗散的比率高達80% ～90%［6］。螺栓連接是典型的非連續粗糙多界面接觸形式。其中，兩個部件配合緊固墊圈通過螺栓進行連接，是其最廣泛的連接方式之一，具有三部件-四接觸界面特征。本文提出的多層疊加結構粗糙界面接觸的“多層粗糙金屬板-剛性平面”模型，如圖1所示。其中，三層金屬板縱向疊加置于固定的下剛性平面，金屬板的表面為具有一定表面形貌的三維粗糙表面。法向外載荷施加于上部可移動的剛性平面。圖1所示模型的接觸界面分別為1，2，3 和 4。其中，界面1和界面4是金屬板1和金屬板3分別與上、下剛性平面的接觸面;界面2和界面3是金屬板1與金屬板2，金屬板2與金屬板3的接觸面，并假設各層金屬板的材料屬性相同。

圖1 “多層粗糙金屬板-剛性平面”多界面模型示意圖Fig.1 Sketch diagram of“multiple rough plates-rigid plane”model

結構的表面粗糙度可以通過統計學參數進行表征和描述［1，2］，如表面高度的標準偏差 σ，斜率 σ'和曲率σ″，其參數依賴于樣本的尺寸和測試儀器的精度，具有尺度依賴性。與統計學參數模型相比，表面分形模型具有自相似和尺度獨立的特性，更能從本質上描述粗糙表面的特征［7-9］。三維分形表面可以通過修正的兩參數 Weierstrass– Mandelbrot函數生成［10-11］:

其中，L為樣本長度，G為分形粗糙度，D為表面分形維數(2＜D＜3)，Ls為截斷長度，γ (γ ＞1)為縮放參數，M為生成分形表面的脊線數量，n是頻率因子，nmax=int［log(L/Ls)/logγ］，Φm，n是［0，2π］內的隨機相位。

表面粗糙程度由尺度獨立的分形參數D和G控制。表面分形維數D，其物理意義是粗糙表面所占據的空間程度大小，D值越大對應于越密集的表面形態(更光滑的表面形貌)。表面分形粗糙度G是高度尺度參數，G值越大對應于越粗糙的表面形貌。參數D和G一般通過實驗測試確定。根據實驗結果，D的范圍為［2.3，2.7］，G的范圍為［1.36e-13，1.36e-10］m［10］。

式(1)所示的粗糙表面高度函數具有比例不變和自相似特性，即:在表面粗糙度一定時(D和G值一定)，不同樣本長度L表征的表面具有相似的形貌特征［10］。本文以 Weierstrass-Mandelbrot函數生成的 0.9 μm×0.9 μm各向同性三維分形表面進行多界面的接觸變形和能量損耗特性研究，其分形表面形貌如圖2所示。其中，Ls=1.5e-7m，M=10，γ =1.5［11］，G=1.36e-11m，圖2(a)的D=2.3，圖2(b)的D=2.7。圖2顯示，對相同的表面分形粗糙度G，增大分形維數D的表面形貌更光滑。

圖2 不同表面粗糙度的三維分形粗糙表面(G=1.36e-11m)Fig.2 Three-dimensional Weierstrass-Mandelbrot fractal surfaces(G=1.36e-11m)

本文主要研究粗糙金屬板與剛性平面之間，以及粗糙金屬板與粗糙金屬板之間的彈-塑性接觸行為。在粗糙表面，實際接觸面積遠小于整個粗糙表面面積，接觸面僅為一些點和很小的面，因而很容易在接觸點處發生應力集中，使應力值高于屈服應力而產生塑性變形［5，12］。塑性變形不可恢復，可以通過金屬板彈塑性材料的屈服準則和硬化準則來計算［12］。不同硬化準則的應力-應變關系如圖3所示，包括線性應變硬化(LH)，非線性應變硬化(NLH)和理想彈塑性(EPP)，對應于不同的塑性變形-硬化行為。線性應變硬化(LH)準則的應力-應變關系為:

非線性應變硬化(NLH)的應力-應變關系為:

其中，σy0為初始屈服應力，E為彈性模量，Et為剪切模量，εp為塑性應變，r0，r∞，b為非線性硬化準則對應的常數。理想彈塑性(EPP)的應力-應變關系對應于式(2)中Et=0。

圖1所示模型的移動剛性平面施加均布的法向位移，位移逐漸加載到最大值后卸載，計算加載與卸載過程中不同界面處的變形和接觸力，并繪制接觸力-變形曲線，曲線形成封閉區域的面積即為該界面的能量損耗U。能量在多界面進行傳遞時沿接觸界面的損耗特性通過能量傳遞損耗率η描述，界面i的能量傳遞損耗率ηi定義為:

圖3 不同硬化準則的應力應變關系，線性應變硬化(LH)，非線性應變硬化(NLH)和理想彈塑性(EPP)Fig.3 Stress strain relationships，linear hardening(LH)，nonlinear hardening(NLH)，and elastic-perfectly plastic(EPP)

其中，Ui為界面i(i=1，…，N)的能量損耗量，UT為所有界面的總能量損耗量，UT=∑Ui，在圖1所示模型中，N=4。ηi為界面i的能量損耗占總能量損耗的比值。

1.2 有限元計算模型

有限元計算模型，如圖4所示。其中，圖4(a)和圖4(b)的粗糙界面分別與圖2(a)和圖2(b)所示的三維分形粗糙表面對應。有限元模型的建立方法與文獻［5］一致，即:金屬板用SOLID185單元離散;金屬板與剛性平面之間，金屬板和金屬板之間建立接觸對;底部剛性平面全約束，上剛性平面僅具有Z方向自由度;均布的位移載荷通過加載和卸載兩個載荷步施加在上剛性平面;求解金屬板與剛性平面之間，金屬板與金屬板之間的接觸力;繪制不同界面的接觸力-變形曲線。文獻［5］已對有限元計算方法的有效性進行了驗證，本文不再贅述。為敘述簡便，模型(a)的界面簡稱為:形貌Ⅰ界面，模型(b)的界面簡稱為:形貌Ⅱ界面。

圖4 有限元計算模型Fig.4 Finite element mesh of rough solid and rigid plate

2 計算結果與分析

計算采用的材料參數與文獻［5］一致，如表1。對各接觸界面(界面1，2，3和4)的法向接觸力Fn和變形量z進行無量綱化處理:fn=Fn/E'A0，δ=z/L，其中A0為名義接觸面積(=L2，L為樣本長度)，E'為復合彈性模量(E'=E/(1-ν2)，E為彈性模量，ν為泊松比)。

表1 材料參數Tab.1 Material parameters used in calculations

2.1 界面無摩擦

2.1.1 接觸力-變形關系(fn-δ曲線)

界面無摩擦，金屬板的塑性變形行為不同，最大法向變形δ=0.1，不同界面形貌(形貌I界面(a)和形貌II界面(b))，加載和卸載過程，界面1、2、3和4的力-變形關系曲線，如圖5所示。

與單一界面相同［5］，各接觸界面的加載和卸載曲線也存在滯回面積。加載過程，各界面的接觸力隨變形呈非線性增加，接觸剛度為非線性;不同形貌界面的接觸剛度隨變形的變化規律不同:對形貌I界面(D=2.3，圖5(a)、(c)、(e))，接觸剛度隨變形的增大由初始值零逐漸增大(曲線斜率由零逐漸增大);而對更平滑的形貌 II界面(D=2.7，圖5(b)、(d)、(f))，最大接觸剛度為初始接觸階段，載荷逐漸增加，接觸剛度逐漸減小(曲線斜率逐漸減小)，當變形增大到一定數值后，剛度幾乎保持不變(曲線斜率為定值)。卸載過程，接觸力隨變形遞減，接觸剛度逐漸減小。加載和卸載過程，不同界面的接觸剛度大小不同，界面4的接觸剛度最大(曲線的斜率最大)，界面1最小。

加載過程，對形貌 I界面(D=2.3)，不同界面i(i=1，…，N，N=4)的接觸力與變形可用關系式(5)表示:

加載過程，對形貌Ⅱ界面(D=2.7)，不同界面i(i=1，…，N，N=4)的接觸力-變形關系可表示為指數非線性、線性項、二次非線性和三次非線性之和，可由式(6)表示:

其中，式5(a)和式6(a)用于描述界面1，2和3的力-變形關系，系數kα和 α、kβ、β、k1、k2和k3，與界面形貌、界面的材料屬性和接觸界面的位置相關。

圖5 無摩擦時不同界面形貌和材料屬性下各界面加載與卸載的力-變形曲線Fig.5 Plots of force vs.deformation at different interfaces of different material models

表2 力－變形關系表達式的系數表Tab.2 Coefficients of kβ，β，k1，k2and k3in Eq.(6)，q in Eq.(7)for varying cases studied

卸載過程，不同界面i(i=1，…，N，N=4)的接觸力-變形關系可表示為:

其中，式7(a)用于描述界面1，2和3的力-變形關系，δp為塑性變形量，q為非線性指數。因界面4的卸載接觸力瞬時減小為零，其接觸力如式7(b)。

圖5的結果表明:式(6)和式(7)能很好地描述各界面的力-變形關系，表達式中的各系數數值，如表2所示。為驗證力-變形關系表達式(6)和式(7)的有效性，對比了金屬板具有理想彈塑性變形行為且界面形貌為形貌Ⅱ界面時(圖5(f))的力-變形關系式與實際計算結果之間的相對誤差，如圖6所示。最大相對誤差是13.2%，出現在變形初始階段;其余部分的相對誤差值約為3%，圖6所示的結果表明式(6)和式(7)可以有效表征實際計算結果，具有較高精度。

圖6 力-變形關系計算式與實際計算值的相對誤差Fig.6 Plot of relative error between calculated results and results obtained using Eq.(6)and Eq.(7)

2.1.2 能量傳遞損耗率-變形關系(η-δ曲線)

圖5顯示，界面1，2，3和4加載曲線和卸載曲線形成的滯回面積大小不同，界面1最大，界面4最小。滯回面積的大小即為能量損耗量，表明界面1能量損耗最大，界面4最小。不同接觸界面的能量損耗量Ui可表示為:

其中:

式(8)顯示，在界面屬性和最大變形量一定時，界面能量損耗量U隨著塑性變形的增加呈線性遞增。式(8)與式(4)可用于計算不同界面處的能量傳遞損耗率ηi。

界面無摩擦，不同塑性變形行為(線性應變硬化(LH)，非線性應變硬化(NLH)和理想彈塑性(EPP))，不同界面形貌(形貌Ⅰ界面和形貌Ⅱ界面)，各界面(界面1，2，3和4)的能量傳遞損耗率-變形關系曲線(η-δ曲線)，如圖7所示。

圖7顯示，形貌I界面(圖7(a))，界面 1，2，3的能量傳遞損耗率 η幾乎不隨材料屬性(LH，NLH和EPP)變化，而界面4的能量傳遞損耗率η受材料屬性影響較大;不同界面的能量傳遞損耗率η隨變形量δ變化:隨著變形δ增大，界面1的能量傳遞損耗率減小;界面2幾乎不變;界面3和界面4增大。其中，界面1的能量傳遞損耗率η最大，η≈0.5;界面2的能量傳遞損耗率η≈0.33;界面 3的能量傳遞損耗率約為η≈0.16;界面4 最小，η≈0.07。

表3 無摩擦與有摩擦的力－變形關系表達式系數對比Tab.3 Coefficients of kβ，β，k1，k2and k3in Eq.(6)，q in Eq.(7)for cases studied with and without friction

對更平滑的形貌Ⅱ界面(圖7(b))，不同界面(界面1，2，3和4)的能量傳遞損耗率η幾乎不隨材料屬性和變形量δ而變化。與形貌Ⅰ界面一致(圖7(a))，形貌Ⅱ界面(圖7(b))在界面1的能量傳遞損耗率η最大，界面4最小;但與形貌Ⅰ界面的界面4處η≈0.07不同，在形貌Ⅱ界面的界面4處η≈0，即最后接觸界面的能量損耗幾乎為0。

圖7表明對非連續的粗糙多界面，由塑性變形引起的能量損耗，約有50%損耗在第一接觸界面，約有33%損耗在第二接觸界面，而最后界面的能量損耗最小，幾乎為0。

2.2 界面存在摩擦

實際界面一般存在摩擦，界面存在摩擦時的有限元計算模型與2.2節相同，不同的是在接觸界面處增加了摩擦因子μ=0.2。金屬板的塑性變形行為為非線性應變硬化(NLH)，重點討論界面摩擦對其界面力-變形關系，以及能量耗散的影響。

2.2.1 接觸力-變形曲線

界面存在摩擦，金屬板具有非線性應變硬化材料屬性，最大變形為δ=0.1，形貌Ⅰ界面(a)和形貌Ⅱ界面(b)，加載和卸載過程，各界面的力-變形關系曲線，如圖8所示。與圖5界面無摩擦的曲線相比，界面存在摩擦時:力-變形曲線形狀基本一致，因而各界面的接觸剛度變化趨勢一致;相同變形下，各界面的接觸力增大，因而其界面能量損耗量增大［5］。但與無摩擦相比，各界面滯回面積大小的比例并無明顯變化。

圖8的擬合曲線顯示，式(6)和式(7)同樣很好地描述了界面存在摩擦時，加載和卸載過程，不同界面的力-變形關系，表達式(6)和式(7)中各系數的數值如表3所示。表3顯示，與無摩擦的系數相比，界面存在摩擦時:系數kβ和非線性指數β基本均增大，卸載曲線的非線性指數q減小，而線性項系數k1，二次和三次非線性項系數k2和k3并無變化規律。

2.2.2 能量傳遞損耗率-變形曲線

圖9表示了摩擦對界面1，2，3和4的能量傳遞損耗率η的影響關系。對形貌Ⅰ界面(圖9(a))，界面存在摩擦，變形δ較小時，能量傳遞損耗率η差異較大，界面1，3，4的能量傳遞損耗率η增大，界面2處減小;隨著變形δ增大，界面摩擦對能量傳遞損耗率η無影響;對形貌Ⅱ界面(圖9(b))，與無摩擦一致，界面存在摩擦時，不同界面的能量傳遞損耗率η與變形δ無關;摩擦對界面1和界面4的能量傳遞損耗率無影響，而使界面2的能量傳遞損耗率增大約3%，界面3相應減小。

上述計算結果是基于尺寸為 0.9 μm ×0.9 μm 的分形表面模型。對于其他尺寸的分形表面，由于分形函數(1)的自相似特性，在相同載荷下，不同樣本長度L表征的粗糙表面具有相似的壓力分布特征。因此，不同尺寸分形表面的實際接觸面積大小與L2成正比，其界面接觸力、接觸剛度和能量損耗量的數值大小隨長度L相應變化。因而，本文以尺寸為 0.9 μm ×0.9 μm分形表面進行計算研究獲得的結論同樣適用于其他尺寸，不同的是，接觸剛度、接觸力和能量損耗量的數值大小會相應發生變化。

3 結論

本文通過建立“多層粗糙金屬板-剛性平面”的粗糙多界面模型，運用有限元方法，對不同界面形貌、不同塑性變形行為和界面摩擦的多層疊加模型的多界面，在加載和卸載過程中的變形、接觸力以及由塑性變形和界面摩擦引起的能量損耗特性進行了研究，主要結論如下:

(1)對具有不同塑性變形行為、不同界面形貌的粗糙多界面，在加載過程中，各界面接觸力隨著變形呈非線性增加，接觸剛度為非線性;在卸載過程中，接觸力隨變形呈非線性遞減，接觸剛度也為非線性;加載與卸載過程中，最后界面的接觸剛度最大，第一界面最小。

(2)界面的加載接觸力-變形關系可以用線性項、指數非線性、二次非線性和三次非線性之和表示;卸載接觸力-變形關系可以用指數關系表示。

(3)加載和卸載曲線形成的滯回面積大小不同，能量損耗沿界面逐漸減小，第一接觸界面最大，最后接觸界面最小。

(4)粗糙度較大的界面，界面間的能量傳遞損耗率η與變形量δ相關，基本不受材料屬性影響;對粗糙度較小的界面，界面間的能量傳遞損耗率η基本不受材料屬性和變形量δ影響。

(5)界面摩擦將增大界面的接觸力，但基本不改變各界面力-變形曲線的形狀;界面摩擦對界面能量傳遞損耗率存在影響，即對于粗糙度較大的界面，在變形較小時影響較大;對于粗糙度較小的界面，僅對中間界面的能量傳遞損耗率影響較大。

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