Rayleigh分布在逐步型Ⅱ受限產(chǎn)品過程能力分析中的應(yīng)用

王超

（安陽工學(xué)院 經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，河南安陽455000）

0 引言

過程能力分析是一種有效測(cè)量過程績(jī)效及潛在能力的方法。工業(yè)生產(chǎn)領(lǐng)域，過程能力指數(shù)（PCIs）被用于評(píng)估產(chǎn)品質(zhì)量是否達(dá)到需要標(biāo)準(zhǔn)。廣泛使用的該類指數(shù)包含Cp，Cpk，Cpm和Cpmk等。這四類指標(biāo)適用于具有雙邊規(guī)格型產(chǎn)品。除了雙邊規(guī)格型產(chǎn)品過程能力指標(biāo)外，Montgomery（1985）和Kane（1986）提出適用于單邊規(guī)格特性產(chǎn)品的過程能力指標(biāo)，如CL，CPL和CU，CPU，其中CL和CPL為望大型（Larger-the-better）特征產(chǎn)品過程測(cè)度指標(biāo)，而CU，CPU為望小型（Smaller-the-better）特征產(chǎn)品過程測(cè)度指標(biāo)。工業(yè)生產(chǎn)中，電子產(chǎn)品壽命由于符合越大越好的的望大型產(chǎn)品特征，故CL常被用于評(píng)估此類產(chǎn)品的產(chǎn)品質(zhì)量。一般而言，該指標(biāo)越大表明產(chǎn)品質(zhì)量越好。

1 過程能力指標(biāo)和不合格率

1.1 Rayleigh分布總體下過程能力指標(biāo)

Rayleigh分布是常用的工業(yè)產(chǎn)品壽命分析中，設(shè)某產(chǎn)品作業(yè)或工作時(shí)間X服從Rayleigh分布，其累積分布函數(shù)和概率密度函數(shù)分別為：

其期望和方差分別為:

Kane（1986）根據(jù)望大型品質(zhì)特性提出過程能力指標(biāo)CL，其定義如下：

上式中，μ表示過程均值，σ表示過程標(biāo)準(zhǔn)差，L表示過程設(shè)定下限，將式（3）帶入式（4）得：

1.2 過程能力指標(biāo)與不合格率之間的關(guān)系

不合格率（non-conformance rate）的界定為作業(yè)時(shí)間低于企業(yè)設(shè)定的容忍下限（L）的概率，如果使用p表示不合格率，則在Rayleigh分布情形下，有：

表1 過程能力指標(biāo)CL與不合格率數(shù)值對(duì)應(yīng)關(guān)系

1.3 過程能力指標(biāo)CL的極大似然估計(jì)

設(shè)第一個(gè)產(chǎn)品的失效時(shí)間有被觀察到，記為x(1)，然后移除r1個(gè)隨機(jī)樣本，0≤r1≤n-1；觀察到第二個(gè)樣本觀察值x(2)時(shí)，則移除r2個(gè)隨機(jī)樣本，0≤r2≤n-r1-2；觀察到第i個(gè)樣本觀察值x(i)時(shí)，則移除ri個(gè)隨機(jī)樣本，0≤ri≤n-r1-r2-…-ri-1-i，i=1,2,…,m-1，在設(shè)限計(jì)劃中（Censoring Scheme）中的m,r1,r2,…,rm都是事先確定的，rm=n-r1-r2-…-rm-1-m。在這樣的逐步型Ⅱ設(shè)限下，根據(jù)Cohen（1976）知，-X=(X(1),X(2),…,X(m))的似然函數(shù)為：

取對(duì)數(shù)為：

其中 c=n(n-r1-1)(n-r2-2)…(n-r1-r2-…-rm-1-m+1)，于是參數(shù)θ的極大似然估計(jì)量為：

若令Yi=X2(i)2θ，令:

可得到Z1,Z2,…,Zm為標(biāo)準(zhǔn)指數(shù)分布。根據(jù)Thomas和Wilson（1972）知道:

所以：

故：

2 過程能力指標(biāo)CL的區(qū)間估計(jì)

所以有：

的雙側(cè)置信區(qū)間為：

3 過程能力指標(biāo)CL的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)

正如前所分析的那樣，一般而言，過程能力指標(biāo)具有越大越好的性質(zhì)。所以，在只有樣本資料可以取得的情形下，我們作如下假設(shè)：

H0∶CL≤c（過程能力指標(biāo)不符合要求）

H1∶CL＞c（過程能力指標(biāo)符合要求）

這里我們使用CL的極大似然估計(jì)量進(jìn)行檢驗(yàn)，其拒絕區(qū)域可表示為。給定顯著性水平α，臨界值c0可通過如下方式獲得：

于是臨界值：

4 檢驗(yàn)勢(shì)的Monte Carlo模擬

統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)的勢(shì)為正確拒絕錯(cuò)誤原假設(shè)的概率。針對(duì)上述檢驗(yàn)設(shè)定：H0∶CL≤c，H1∶CL＞c，在給定顯著性水平α的情形下，其拒絕區(qū)域?yàn)?，在點(diǎn)

CL=c1時(shí)，檢驗(yàn)的勢(shì)P(c1)為：

該檢驗(yàn)的勢(shì)函數(shù)P(c1)的Monte Carlo模擬步驟

步驟1：

（a）給定c,c1,L,α和n、m，其中c1＞c；（b）θ的值可通過CL=a-bθ-1/2=c1計(jì)算求得；（c）產(chǎn)生U(0,1)均勻分布隨機(jī)數(shù)U1,U2,…,Um；（d）通過轉(zhuǎn)換Zi=-ln(Ui)轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)指數(shù)分布，再經(jīng)過式（10）中轉(zhuǎn)換Y1=Z1/n，+Ym-1可得到m個(gè)型Ⅱ逐步設(shè)限的服從標(biāo)準(zhǔn)指數(shù)分布的有序樣本(Y1,Y2,…,Ym)，而后，通過轉(zhuǎn)換可生成服從Rayleigh分布的m個(gè)型Ⅱ逐步設(shè)限的有序樣本(X1,X2,…,Xm);（e）按照公式（11）計(jì)算W統(tǒng)計(jì)量，而后通過公式計(jì)算；（f）定義計(jì)數(shù)變量Count如 果，Count=1，否 則 Count=0，其 中

步驟2：

（a）將步驟1重復(fù)1000次；（b）勢(shì)函數(shù)P(c1)的估計(jì)量為

步驟3：

（a）步驟2重復(fù)100次，得到100個(gè)勢(shì)函數(shù)P(c1)的估計(jì)值，記為：值

其中P(c1)通過式（18）求得。

模擬時(shí)，本文考慮5種不同的設(shè)限計(jì)劃（見表2）

表2 不同設(shè)限計(jì)劃假定

同時(shí)，這里我們假定c=0.1，c1=0.2-0.9，L=1.0，α=0.01和0.05。該檢驗(yàn)的勢(shì)模擬結(jié)果由表3給出。由此我們可以發(fā)現(xiàn)（1）固定c1情形下，隨著n的增大，模擬勢(shì)的平均值逐漸提高；（2）固定n情形下，隨著c1的增大，模擬勢(shì)的平均值逐漸提高。從表:4我們可以發(fā)現(xiàn)：（1）所有模擬勢(shì)平均值 與其實(shí)際值P(c1)是非常接近；（2）均方誤差（SMSE）取值非常小，其變化范圍基本上在0-2.97×10-4之間。

表3 勢(shì)函數(shù)估計(jì)值的平均值

5 結(jié)論

工業(yè)生產(chǎn)領(lǐng)域中，過程能力分析常用于質(zhì)量控制，有關(guān)過程能力指數(shù)的多數(shù)理論及應(yīng)用文獻(xiàn)，多以正態(tài)分布為基礎(chǔ)。但多數(shù)分析已經(jīng)表明，很多現(xiàn)象并不服從正態(tài)分布。針對(duì)電子產(chǎn)品的壽命問題，Rayleigh分布為可供選擇的分布之一。本文針對(duì)逐步型Ⅱ數(shù)據(jù)資料，討論了Rayleigh分布情形下過程能力指標(biāo)的統(tǒng)計(jì)推斷問題。對(duì)產(chǎn)品的生產(chǎn)者而言，該項(xiàng)新的檢驗(yàn)程序可用于產(chǎn)品的質(zhì)量控制，通過檢驗(yàn)產(chǎn)品質(zhì)量是否達(dá)到設(shè)定需求，來對(duì)其生產(chǎn)過程進(jìn)行有效控制。

表4 樣本均方誤差（SMSE） (單位：10-4)

[1]D.C.Montgomery.Introduction to Statistical Quality Control[M].New York：John Wiley&Sons Inc,1985.

[2]Kane,V.E.Process Capability Indices[J].Journal of Quality Technol?ogy,1986,18(1).

[3]A.Clifford Cohen.Progressively Censored Sampling in the Three Pa? rameter Log-Normal Distribution[J].Technometrics,1976,(18).

[4]David R.Thomas，Wanda M.Wilson.Linear Order Statistic Estima?tion for the Two-Parameter Weibull and Extreme-Value Distributions from Type II Progressively Censored Samples[J].Technometrics,1972, (14).

[5]Thomas A.Severini.Elements of Distribution Theory[M].Londom: Cambridge University Press,2005.