電纜三維磁場分析與自感計算

倪有源， 黃 亞， 林 勇

（合肥工業大學電氣與自動化工程學院，安徽合肥 230009）

0 引 言

同軸電纜（也稱為同軸傳輸線）在傳輸數據、音頻、視頻等通訊設備中的應用十分廣泛。同軸電纜由中心導體、絕緣材料層、網狀織物構成的屏蔽層以及外部隔離材料層組成。同軸電纜的這種結構，使它具有高帶寬和極好的噪聲抑制特性。而同軸電纜的內導體可以由多股導線構成，外導體也可以由多股導線構成，并且內外導體可以同時由多股導線構成，稱為多股導線同軸電纜。同軸電纜在制造及使用過程中易造成偏心，就形成了偏心電纜。

國內外對同軸電纜的研究十分活躍，文獻［1］研究了IP電話利用同軸電纜電視網絡；文獻［2－ 5］分析研究了漏泄同軸電纜；文獻［6］研究了鍍膜同軸電纜如何使交流損耗的數值最小化；文獻［7］分析了應用在包裝技術上一種新穎的三維互聯系統；文獻［8］研究了超低阻抗的電纜；文獻［9］使用共形映射和有限差分時域的方法闡述了偏心電纜的特性；文獻［10］采用保角變換和有限差分組合的方法估算了偏心電纜高次模的截止頻率；文獻［11］采用時域有限差分法，分析了屏蔽電纜屏蔽層中的電壓電流在芯線中的耦合響應；文獻［12］通過保角變換求得了外方內圓同軸線的解。

但是國內外關于同軸電纜電感參數計算方面的研究卻十分匱乏，文獻［13］采用奇異函數的方法計算外圓內圓同軸傳輸線的單位長度電容和電感參數；文獻［14］采用雙細線回路方程構建多導體傳輸線矩陣模型直接求解電感矩陣，采用矩陣運算求解多導體電流分布。精確計算各類電纜的電感參數是非常重要的。對于含有非圓形導體的同軸電纜以及偏心電纜，傳統的解析方法很難得到精確的解，需要用三維數值方法計算。有限元方法作為一種有效的數值計算方法，其計算精度很高，適合求解此類不規則三維電磁場問題。

本文采用有限元商用軟件包ANSYS，通過求解三維靜磁場，基于磁場能量法計算各種不同形狀的同軸電纜以及偏心電纜在不同參數下的單位長度自感參數，基于能量攝動法計算得到同軸電纜在不同參數下的單位長度自感參數和單位長度互感參數。有限元法與解析方法計算結果的一致性驗證了計算結果的正確性。該方法簡單易行，且計算精度很高，可用于計算各類同軸電纜以及偏心電纜等各類電纜的電感參數。

1 電感計算方法

電感的計算方法有多種，可分為解析法和數值法。解析法有保角變換法、磁鏈法等。最常用的解析方法計算電感是磁鏈法［15］，磁鏈法適合計算形狀規則導體的電感參數。數值法包括有限元法、有限差分法等。磁場能量法以及能量攝動法也可以計算電感參數，尤其對形狀不規則的導體計算非常方便。

（1）磁鏈法。導體的自感為：

其中，ψL為磁鏈；I為導體中的電流。

導體間的互感為：

其中，ψ21為電流I1在回路2中產生的磁鏈。

（2）磁場能量法。某個體積內存儲的磁場能量為：

其中，B為磁感應強度；H為磁場強度。

由（3）式計算磁場能量時，首先將求解域分為不同區域，求解每個區域內的磁感應強度和磁場強度，積分獲得每個區域的磁場能量。最后將各個區域的磁場能量求和得到求解域的總磁場能量。

自感為：

（3）能量攝動法。用另外一種方法，即能量攝動法［16］也可以計算自感和互感。存儲在第j個繞組中的能量Wj可以表示為：

存儲在n個繞組中的總能量為：

如果電流有十分微小的攝動，可認為增量電感保持不變，于是相應的增量能量為ΔW。

儲存在磁場中的總能量為：

由于增量電感在電流的小范圍內波動時可認為是不變的，通過求導可得：

由于各繞組的互感值相同，即

于是經過變換得到：

因此，改變電流也就相應改變磁場能量值。可由（10）式求得繞組的自感，由（11）式求得2個繞組之間的互感。

2 同軸電纜電感計算

（1）外圓內圓同軸電纜。分別取內導體半徑、外導體內徑、外導體外徑為變量。當內導體半徑為變量時，外導體內徑、外徑分別為20、 25 mm。當外導體內徑為變量時，內導體半徑、外導體外徑分別為6、25 mm。當外導體外徑為變量時，內導體半徑、外導體內徑分別為6、10 mm。采用有限元商用軟件包ANSYS，在進行建模、施加邊界條件、加載電流后，獲得同軸電纜三維靜磁場的求解?；诖艌瞿芰糠?，即由（4）式計算外圓內圓同軸電纜的自感。將計算結果用Matlab繪制成圖，結果如圖1所示。

由圖1可知，自感隨著內導體半徑的增大而減小，隨著外導體內徑的增大而增大，隨著外導體外徑的增大而增大。

圖1 外圓內圓電纜各參數為變量時自感值

（2）外圓內方同軸電纜。分別取內導體邊長、外導體內徑、外導體外徑為變量。當內導體邊長為變量時，外導體內徑、外徑分別為20、25 mm。當外導體內徑為變量時，內導體邊長、外導體外徑分別為6、25 mm。當外導體外徑為變量時，內導體邊長、外導體內徑分別為6、10 mm。計算結果如圖2所示。

圖2 外圓內方電纜各參數為變量時自感值

由圖2可知，自感隨著內導體半徑的增大而減小，隨著外導體內徑的增大而增大，隨著外導體外徑的增大而增大。

（3）外方內圓同軸電纜。分別取內導體半徑、外導體內徑、外導體外邊長為變量。當內導體半徑為變量時，外導體內徑、外邊長分別為20、 50 mm。當外導體內徑為變量時，內導體半徑、外導體外邊長分別為6、50 mm。當外導體外邊長為變量時，內導體半徑、外導體內徑分別為6、10 mm。計算結果如圖3所示。

圖3 外方內圓電纜各參數為變量時自感值

由圖3可知，自感隨著內導體半徑的增大而減小，隨著外導體內徑的增大而增大，隨著外導體外徑的增大而增大。

（4）外橢圓內圓同軸電纜。分別取內導體半徑、橢圓內短軸長、橢圓外短軸長為變量。當內導體半徑為變量時，橢圓內短軸長、橢圓長分別為20、25 mm。當橢圓內短軸長為變量時，內導體半徑、橢圓外短軸長分別為6、25 mm。當橢圓外短軸長為變量時，內導體半徑、橢圓內短軸長分別為6、10 mm。其中橢圓離心率為0.745 4。計算結果如圖4所示。

圖4 外橢圓內圓電纜各參數為變量時自感值

由圖4可知，自感隨著內導體半徑的增大而減小，隨著外導體內徑的增大而增大，隨著外導體外徑的增大而增大。

3 多股導線同軸電纜電感計算

同軸電纜的內導體可由多股導線構成，如圖5所示，外導體也可以由多股導線構成，并且內外導體可以同時由多股導線構成。

對于具有多股內導線的同軸電纜，每股導線半徑為1 mm，每股導線截面中心所在圓的半徑為4 mm，外導線內外徑分別為6、8 mm。

對于具有多股外導線的同軸電纜，每股導線半徑為1 mm，內導線半徑為4 mm，每股導線截面中心所在圓的半徑為6 mm。對于具有多股內導線和多股外導線的同軸電纜，內外股導線半徑均為1 mm，內外股導線截面中心所在圓的半徑分別為4、8 mm。

基于磁場能量攝動法，即由（4）式計算得到4、6、8、10、12股電纜的單位長度自感參數，結果見表1所列。

圖5 多股內導線的同軸電纜

表1 單位長度自感計算結果

4 偏心電纜電感計算

（1）外圓內圓偏心電纜。內導體半徑、外導體內徑和外導體外徑分別為6、20、25 mm，內導體圓心與外導體圓心的偏心距離為變量?；诖艌瞿芰糠?，即由（4）式可計算外圓內圓偏心電纜的自感，將計算結果繪制成圖，如圖6所示。由圖6可知自感隨著偏心距離的增大而減小。

（2）外方內圓偏心電纜。內導體半徑、外導體內邊長和外導體外邊長分別為6、40、50 mm，內導體圓心與外導體中心的偏心距離為變量。計算結果如圖7所示。由圖7可知自感隨著偏心距離的增大而減小。

基于磁場能量法，即由（4）式計算同軸電纜的自感時，認為同軸電纜內導體和外導體構成回路，是一個導體。

圖6 外圓內圓電纜偏心距離為變量時自感值

圖7 外方內圓電纜偏心距離為變量時自感值

如果認為同軸電纜內導體和外導體是2個導體，則它們不僅各自有自感，而且它們之間存在互感?；谀芰繑z動法，即由（10）式、（11）式計算外圓內圓同軸電纜內導體的單位長度自感、外導體的單位長度自感、內導體與外導體之間的單位長度互感。計算結果見表2所列（其中r1為內導體半徑）。

因此，同軸電纜總的自感表達式為：

其中，L1為內導體的自感；L2為外導體的自感；M為內導體與外導體之間的互感，由于2個導體電流方向相反，互感值取負號。

再由（12）式，計算得到外圓內圓同軸電纜單位長度總自感，計算結果見表2所列。不難看出，計算結果與圖1中的計算結果完全相同。對于其他形狀的同軸電纜，計算結果也一樣，因此驗證了能量攝動法計算電感參數的有效性。

為了驗證計算結果的正確性，將有限元方法的計算結果與解析方法的計算結果加以比較。對于外圓內圓的同軸電纜，取不同的參數，由（1）式計算得到單位長度自感表達式［15］為：

其中，r1為內導體半徑；r2、r3分別為外導體內徑和外徑。

表2 單位長度自感計算結果 10－7 H／m

由（13）式計算得到的結果見表3所列，2種方法計算結果的一致性驗證了有限元方法計算的正確性。

表3 2種方法計算同軸電纜自感的比較

對于含有多股內導線的同軸電纜，由（1）式得到單位長度自感表達式為［17］：

其中，q、r為外導體半徑；ρ為每股導體半徑；R為每股導線截面中心所在圓的半徑；m為股數。

對于含有多股外導線的同軸電纜，由（1）式得到單位長度自感表達式為［17］：

其中，p為內導體半徑；ρ為每股導體半徑；R為每股導線截面中心所在圓的半徑。

由（14）式、（15）式計算得到的結果見表4所列，2種方法計算結果的一致性驗證了有限元方法計算的正確性。

表4 2種方法計算多股導線同軸電纜自感的比較

5 結束語

電感參數是各類電纜的重要參數之一，精確獲得其電感參數是非常重要的。本文采用有限元商用軟件包ANSYS，通過求解三維靜磁場，基于磁場能量法計算得到幾種不同形狀的同軸電纜、多股導線同軸電纜以及偏心電纜在不同參數下的單位長度自感參數?；谀芰繑z動法計算得到同軸電纜在不同參數下的單位長度自感參數和單位長度互感參數，并進一步分析得到同軸電纜和偏心電纜的自感變化規律：同軸電纜的自感隨著內導體半徑的增大而減小，隨著外導體內徑的增大而增大，隨著外導體外徑的增大而增大；偏心電纜的自感隨著偏心距離的增大而減小。有限元方法與解析方法計算結果的一致性驗證了計算結果的正確性。與復雜的解析方法和其他方法相比，該方法簡單易行，且計算精度很高，可用于計算不同形狀的同軸電纜以及偏心電纜等各類電纜的電感參數。本文為各類電纜的結構設計、電磁場計算、參數計算以及優化設計等方面提供一定的理論參考。

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