聚焦《極坐標與參數方程》中的六類經典問題

■廣東省江門市新會陳經綸中學 王景珊

高考對《極坐標與參數方程》的考查主要是圍繞“極坐標方程、參數方程、普通方程的互化,以及利用參數方程的點參式代入構建目標函數求最值、極坐標方程的建立與應用”等考點展開的,凸顯極坐標和參數方程建立過程中所隱含的等價轉化、數形結合、函數方程等思想的具體應用。

聚焦1——極坐標方程、參數方程、普通方程的互化

例1(河南省中原名校(豫南九校)2018屆高三上學期第四次質量考評)已知曲線C1的極坐標方程為ρ=1,曲線C2的參數方程為

(1)將兩曲線化成普通坐標方程;

(2)求兩曲線的公共弦長及公共弦所在的直線方程。

解析：(1)利用同角三角函數的平方關系消參或用整體化普通方程。曲線C1：ρ=1的直角坐標方程為x2+y2=1。①

(2)由①-②得2x+2y+1=0,即為過兩圓的交點的弦所在的直線方程。

品味：把參數方程化為普通方程要明確哪一個量是參數,且注意參數的取值對普通方程中x及y的取值范圍的影響。消參常用“代入法”、“加減消元”或“平方消元”;對直角坐標方程與極坐標方程的互化,有時要將極坐標方程作適當轉化,若是和角,常用兩角和與差的三角公式展開得到整體公式形式,有時為了出現公式的整體,兩邊可以同乘以ρ運用整體公式而在判斷直線與圓或圓與圓的位置關系時,常化為直角坐標方程再解決。

聚焦2——利用參數方程的點參式代入構建目標函數求最值

例2(2017年新課標原創押題預測卷02)平面直角坐標系xOy中,直線l的參數方程為(t為參數),以坐標系的原點O為極點,x軸的正半軸為極軸,建立極坐標系,曲線C1的極坐標方程為ρ2cos2θ+4ρ2sin2θ=3。

(1)求出直線l的普通方程及曲線C1的直角坐標方程;

(2)若直線l與曲線C1交于A,B兩點,C是曲線C1上與A,B不重合的一點,求△ABC面積的最大值。

解析：(1)利用代入法消去參數t得直線l的普通方程為x-y+1=0。用二倍角公式對ρ2cos2θ+4ρ2sin2θ=3變形有ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=3,所以,則曲線C1的直角坐標方程為

因為C是曲線C1上一點,所以可設則點C到直線l的距離d=

所以△ABC面積的最大值為

品味：將直線與橢圓的參數方程都化為普通方程后求交點,橢圓或圓上任一點到一條直線的距離的最值,點參式代入利用點到直線的距離公式構建目標函數,借助正余弦函數的有界性確認最值,進而求得參數的值,彰顯了參數方程的作用。一般地,涉及橢圓或圓上點的最值、定值、軌跡等問題,當直接處理不好下手時,可考慮橢圓或圓的參數方程,利用點參式代入進行處理,將問題轉化為三角函數的有界性或函數問題求解。

聚焦3——利用極坐標方程求解長度有關問題

例3(2017年四川瀘州四診)在直角坐標系xOy中,圓C的參數方程為(為參數)。以為極點,φ O x軸的非負半軸為極軸建立坐標系。

(1)求圓C的極坐標方程;

(2)設直線l的極坐標方程是射線0)與圓C的交點為O,P,與直線l的交點為Q,求線段PQ的長。

解析：(1)對圓C的參數方程變形平方消參得(x-1)2+y2=1,把x=ρcosθ,y=ρsinθ代入化簡得圓C的極坐標方程為ρ=2cosθ。

(2)從原點出發的射線與不同的兩曲線相交,求交點之間的距離,選用極坐標方程,利用極徑的幾何意義簡化求解。射線y=0(x≥0)的極坐標方程是,設點P(ρ1,θ1),則解得設點Q(ρ2,θ2),則解得

由于θ1=θ2,所以所以線段PQ的長為2。

品味：從原點出發的一條射線上兩點之間的距離,實質是同一個角對應的兩點極徑差的絕對值,選用極坐標方程進行探究。特別是遇到以極坐標為背景的求三角形面積、距離、線段長等幾何問題時,常常利用極坐標的幾何意義尋求突破,凸顯極坐標方程的建立過程中“數形結合”思想的具體應用。

聚焦4——利用極坐標方程求解最值問題

例4(2017年陜師大附中高三年級第二次模考)在平面直角坐標系xOy中,曲線(為參數,實數a＞0),φ曲線(為參數,實數φb＞0)。在以O為極點,x軸的正半軸為極軸的極坐標系中,射線與C交于O,A兩點,與1C2交于O,B兩點。當α=0時當時,

(1)求a,b的值;

解析：(1)曲線C1的普通方程為(xa)2+y2=a2,其極坐標方程為ρ=2a·cosθ,由已知條件可得,當θ=0時,|OA|=ρ=1,所以

曲線C2的普通方程為x2+(y-b)2=b2,其極坐標方程為ρ=2bsinθ,由已知條件可得,當時,|OB|=ρ=2,所以b=1。

(2)利用極坐標方程的意義構建長度和的目標函數,借助三角變換及三角函數的有界性求最值。

由a,b的值可得曲線C1,C2的極坐標方程分別為ρ=cosθ,ρ=2sinθ,所以

品味：從原點出發的一條射線上兩點之間的距離,實質是同一個角對應的兩點極徑差的絕對值,凡涉及三角形面積、距離、線段長等幾何最值問題,借助極坐標方程將長度轉化為極角的三角函數求解。

聚焦5——利用直線的標準參數方程中“t”的幾何意義簡化求解問題

例5(湖南省五市十校教研教改共同體2018屆高三12月聯考)在平面直角坐標系中,直線l經過點P(0,1),傾斜角為。在以原點為極點,x軸的正半軸為極軸的極坐標系中,曲線C的方程為ρ=4sinθ。

(1)寫出直線l的參數方程和曲線C的直角坐標方程;

(2)設直線l與曲線C相交于A、B兩點,求的值。

解析：(1)先根據直線參數方程標準式寫直線l的參數方程,直線l的參數方程為

利用y=ρsinθ,x=ρcosθ化簡極坐標方程為直角坐標方程。因為ρ=4sinθ,所以ρ2=4ρsinθ,所以x2+y2=4y,即曲線C的直角坐標方程為x2+(y-2)2=4。(2)將直線l的參數方程代入圓的方程,再根據參數的幾何意義化簡最后根據韋達定理代入化簡求值。

將l的參數方程代入曲線C的直角坐標方程,得t2-t-3=0,顯然Δ＞0,所以t1+t2=1,t1t2=-3,所以|PA|·|PB|=|t1t2|=3。

品味：過定點M0(x0,y0)且傾斜角為α的直線l的參數方程為為參數),其中t表示直線l上以定點M0為起點,以任意一點M(x,y)為終點的有向線段。若直線l上兩點A,B所對應的參數分別為tA,tB,則A,B兩點之間的距離為|AB|=|tA-tB|,特別地,A,B兩點到M0的距離分別為|tA|,|tB|。若M0是線段AB的中點,則tA+tB=0,反之亦然。借助t的幾何意義來表示線段長會很方便。

聚焦6——非標準的直線參數方程中“t”的幾何意義的應用

例6(2017年江西師大高三年級模擬1)在直角坐標系xOy中,直線l的參數方程為(為參數),若以該直角坐標t系的原點O為極點,x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系,曲線C的極坐標方程為ρsin2θ+4cosθ=0。(1)求直線l與曲線C的普通方程;(2)已知直線l與曲線C交于A,B兩點,設M(-2,0),求的值。

解析：(1)由得2),直線l的普通方程為

由ρsin2θ+4cosθ=0,得ρ2sin2θ+4ρcosθ=0。

又因為ρcosθ=x,ρsinθ=y,所以曲線C的普通方程為y2=-4x。

(2)設A,B對應的參數分別為t1,t2,將代入,得y2=-4x3t2+4t-8=0,所以

因為直線l的參數方程為可化為

品味：過點P(x0,y0),斜率為的直線的參數方程可表示為其中,為參數,且的幾何意義與標準參數方程中“t”的幾何意義一樣。