《二次函數》基礎知識陳列館

一、 定義與表達式

定義：一般地，形如 y=ax2+bx+c（a、b、c為常數，且a≠0）的函數為二次函數.其中，x是自變量，y是因變量，y是x的函數.

二次函數的3種表達式：

一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c為常數，a≠0）.它的特點是用二次三項式表示，有3個待定系數a、b、c.

頂點式：y=a（x-h）2+k，它的特點是可以很清晰地看出拋物線的頂點P（h，k）.

交點式：y=a（x-x■）（x-x■），它的特點是可以很清晰地看出拋物線與x軸有兩個交點A（x■，0）和 B（x■，0）.

我們還要熟練學會對一般式的配方和因式分解，使其向另兩種形式轉化：

y=ax2■+bx+c=ax2■+■x+c

=ax2■+■x+■+■

=ax+■2■+■（頂點式），

只有當b■-4ac≥0時，一般式才可化為=ax-■x-■=a（x-x■）（x-x■） .（交點式）

聯想：由此可見，一元二次方程ax■+bx+c=0（a，b，c為常數，且a≠0），當b■-4ac≥0時，有兩個實數根：x■=■，x■=■.

二、 二次函數的性質

1. 開口方向：a>0時，開口方向向上，a<0時，開口方向向下，|a|還可以決定開口大小， |a|越大開口就越小， |a|越小開口就越大.

2. 對稱性：二次函數y=ax■+bx+c的圖象是軸對稱圖形，對稱軸為過頂點P-■，■與x軸垂直的直線，即直線x=-■（對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點）.

可見，一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置.

當a與b同號時（即ab>0），對稱軸在y軸左邊；

當a與b異號時（即ab<0），對稱軸在y軸右邊.

特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸（即直線x=0），拋物線頂點P在y軸上；

當Δ= b■-4ac=0時，拋物線頂點P在x軸上.

3. 增減性：

a>0，當x<-■時，y隨x的增大而減小， 當x>-■時，y隨x的增大而增大（開口向上先減后增）.當x=-■時，y有最小值■.

a<0，當x<-■時，y隨x的增大而增大， 當x>-■時，y隨x的增大而減小（開口向下先增后減）.當x=-■時，y有最大值■.

4. 與坐標軸交點情況

① 當b■-4ac>0時，拋物線與x軸有2個交點； ② 當b■-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點（拋物線與x軸相切于頂點）；③ 當b■-4ac<0時，拋物線與x軸沒有交點.

另外，常數項c決定拋物線與y軸的交點，拋物線與y軸交于點（0，c）.

三、 二次函數的平移

二次函數圖象的平移不改變開口方向和大小，只改變頂點位置，因而我們可以簡化為換頂點來解.如y=a（x-h）■+k，它的頂點是P（h，k），如果將拋物線y=a（x-h）■+k向右平移m個單位，再向上平移n個單位后的新拋物線頂點為Q（h+m，k+n），其函數表達式為y=a[x-（h+m）]■+（k+n）.這就是“找（頂）點移圖” 法.

四、 活學妙用

例1 設坐標平面中x、y軸正向分別為正東、正北方向，將拋物線y=x■-2x+2沿北偏西60°的方向平移2個單位，求平移后的拋物線關系式.

解：∵y=x2■-2x+2=（x-1）■+1， ∴拋物線頂點為（1，1）.

將拋物線y=x2■-2x+2沿北偏西60°的方向平移2個單位，實際上就是先向左平移■（2sin60°=■）個單位再向上平移1（2cos60°=1）個單位，頂點變為（1-■，2），所求拋物線關系式為y=（x-1+■）■+2.

評注？搖找頂點坐標看平移是解題的重點.

例2 如圖，將2個正方形并排組成矩形OABC，OA和OC分別落在x軸和y軸的正半軸上，正方形EFMN的邊EF在線段CB上，過點M、N的二次函數的圖象也過矩形的頂點B、C，若3個正方形的邊長均為1，求此二次函數的關系式.

分析 發現B、C兩點的縱坐標相同，本題即可使用推廣了的交點式來解.

解：據題可設過兩點C（0，1）、B（2，1）的二次函數的關系式為y=ax（x-2）+1，它的圖象又過點M■，2，將點M的坐標代入關系式得：2=a×■×■-2+1，解得：a=-■.

所求關系式為y=-■x（x-2）+1，即y=-■x2■+■x+1.