抓住典型錯誤 深刻理解概念

同學們在本章內容的學習中出現的錯誤，大多是由以下情況造成的：對等弧、圓周角等重要概念模糊不清，認識不夠，理解不透，忽視垂徑定理、切線判定定理等重要定理適用的前提條件，對點與圓、直線與圓以及圓和圓的位置關系認識不全面，對圖形和已知條件還沒有完全把握就急忙下手尋求解答方法，等等.下面就今年中考中出現的一些典型錯誤進行解析，希望給同學們帶來幫助.

例1 （2012連云港）如圖1，⊙O的圓心在坐標原點，半徑為2，直線y=x+b（b>0）與⊙O交于A、B兩點.點O關于直線y=x+b的對稱點為O′.（1） 求證：四邊形OAO′B是菱形；（2） 當點O′恰好落在⊙O上時，求b的值.

錯解？搖在第（1）小題的解決過程中，很多同學忽略了“直線y=x+b（b>0）與⊙O交于A、B兩點”這個條件，從而無法得出OA=OB. 在第（2）題的解決過程中，部分同學無法從“當點O′恰好落在⊙O上”這個條件中得出OO′=2.

分析？搖此題圖形并不復雜，但忽視了隱含的條件，便會錯誤百出.

正解 （1） 點O與點O′關于直線y=x+b對稱， AO=AO′，BO=BO′.

又因為OA=OB，所以AO=AO′=BO=BO′，四邊形OAO′B是菱形.

（2） 如圖2，當點O′落在圓上時，OM=1，因為直線y=x+b與x軸、y軸的交點坐標分別是N（-b，0），P（0，b），所以△ONP為等腰直角三角形，所以∠ONP=45°.所以OP=■，b=■.

例2 （2010錦州）如圖3所示，點A、B在直線MN上，AB=11 cm，⊙A、⊙B的半徑均為1 cm，⊙A以每秒2 cm的速度自左向右運動，與此同時，⊙B的半徑也不斷增大，其半徑r（cm）與時間t（s）之間的關系式為r=1+t（t≥0）.（1） 試寫出A，B之間的距離d（cm）與時間t（s）之間的函數關系式；（2） 當⊙A出發幾秒后兩圓相切？

錯解？搖第（1）問的函數表達式漏寫一種，第（2）問的分類討論不全面.

分析？搖此題以運動變化為背景，分類思想突出，綜合了函數知識，圖中⊙B的位置不變，即圓心不變，但半徑在變，所以圓心距與時間之間的函數關系式應遵循相等關系分為兩種情況，一種是點A在線段AB上，另一種是點A在點B的右側.第（2） 問的解決方法是將變化過程中，兩圓相切的情況全面地分析出來，再建立t的方程.

正解 （1） 當0≤t≤5.5時，d=11-2t，當t>5.5時，d=2t-11.

（2） 兩圓相切可分為4種情況：當兩圓第一次外切時，11-2t=1+1+t，解得t=3；當兩圓第一次內切時，11-2t=1+t-1，解得t=■；當兩圓第二次內切時， 2t-11=1+t-1，解得t=11；當兩圓第二次外切時，2t-11=1+t+1解得t=13.所以，當點A出發后3s，■ s，11 s或13 s時，兩圓內切.