透過表面 把握本質

近年各地中考試卷中對本章內容的考查，最突出的特點是強調基礎，重視實用.一方面重點考查對圓的基本概念、基本性質的理解及推論的運用，特別是垂徑定理及其推論、圓周角定理及其推論的運用，考查的題型大多以填空題、選擇題的形式出現.另一方面重點考查直線與圓的三種位置關系、切線的定理、切線的性質，考查的題型主要是以計算題和證明題的形式出現.現選擇部分題型進行分析.

例1 （2011南京）如圖1，海邊有兩座燈塔A、B，暗礁分布在經過A、B兩點的弓形（弓形的弧是⊙O的一部分）區域內，∠AOB=80°，為了避免觸礁，輪船P與A、B的張角∠APB的最大值為？搖？搖？搖 ？搖°.

課本原型 如圖2，點A、B、C在⊙O上，點D在圓外，CD、BD分別交⊙O與點E、F，比較∠BAC與∠BDC的大小，并說明理由.

對比聯系 本題是將課本原型題放入實際情景中并稍作變化，兩題考查的都是圓周角定理，不同的是原型運用同弧所對的圓周角相等，而本題為了避免觸礁，輪船P與A、B的張角∠APB的最大值是輪船P落在圓周上時所成的角，運用同弧所對的圓心角與圓周角的關系便可解決.

問題解答 由題意可知，為了避免觸礁，當輪船P落在弓形的弧上時輪船P與A、B的張角∠APB最大，則此時∠APB=■∠AOB=40°.

例2 （2012連云港）如圖3，圓周角∠BAC=55°，分別過B、C兩點作⊙O的切線，兩切線相交于點P，則∠BPC= ？搖 ？搖？搖？搖.

課本原型 如圖4，PA、PB是⊙O的切線，切點分別是A、B，C是⊙O上一點，若∠APB=40°，求∠ACB的度數.

對比聯系 與課本原型比較發現圖形基本一致，但條件略作改動，兩題都是考查切線的性質、圓周角定理以及四邊形的內角和定理.為了求出∠BPC，必須將其放在三個角大小都可求的四邊形中，于是想到連接OB、OC，由PB、PC是⊙O的切線，利用切線的性質，即可求得∠PBO=∠PCO=90°，又由圓周角定理可得∠BOC=2∠BAC，繼而求得∠BPC的度數.注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用.

問題解答 如圖5，連接OB、OC.

∵PB，PC是⊙O的切線，∴OB⊥PB，OC⊥PC，∴∠PBO=∠PCO=90°.

∵∠BOC=2∠BAC=2×55°=110°，

∴∠BPC=360°-∠PBO-∠BOC-∠PCO=360°-90°-110°-90°=70°.

例3 （2012江蘇揚州）如圖6，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，AD垂直于過點C的切線，垂足為D.

（1） 求證：AC平分∠BAD；（2） 若AC=2■，CD=2，求⊙O的直徑.

課本原型 如圖7，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，AD垂直于過點C的切線，垂足為D. 若∠BAD=80°，求∠DAC的度數.

對比聯系 本題考查了切線的性質、角平分線的性質、勾股定理、相似三角形的判定與性質，在課本題的基礎上加以拓展，是一道綜合性較強的題目.本題的圖形與課本原型稍有不同，比較后很容易想到連接OC，根據切線的性質判斷出AD∥OC，作出輔助線是解決本題的關鍵.

問題解答 解：（1） 如圖8，連接OC. ∵DC切⊙O于C，∴OC⊥CD，

∴∠ADC=∠OCF=90°，∴AD∥OC，∴∠DAC=∠OCA，∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，即AC平分∠BAD.

（2） 連接BC. ∵AB是直徑，∴∠ACB=90°=∠ADC.

∵∠OAC=∠OCA，∴△ADC∽△ACB，∴ ■=■.

在Rt△ADC中，AC=2■，CD=2. ∴ AD=4. ∴ ■=■， ∴ AB=5.

最近幾年各地的中考試卷，對《中心對稱圖形（二）》的考查，過于繁難的證明題和計算題很少見，而更多地注重對課本上例習題的挖掘和利用，注重考查與圓有關的概念，關注圓的旋轉不變性和圓的軸對稱性的考查，要求同學們理解圓心角與圓周角的相關定理，掌握與圓有關的位置關系等，能夠將這些知識融會貫通，并能夠與其他數學知識技能綜合運用.