談談那些“化了妝”的中考題

數(shù)學課本中有不少例題或習題具有典型性、示范性、遷移性和再生性等特點，若以這些題為原型加以改編延伸和拓展，可以得到一些“源于教材，高于教材”的好題.近年來，這類題目備受中考命題人的青睞.下面圍繞二次函數(shù)這一部分內(nèi)容，以今年各地中考試題為例，談談這些題目與蘇科版數(shù)學教材的密切聯(lián)系.

一、 體現(xiàn)基礎

基礎知識這一塊，最主要考查二次函數(shù)的基本概念、公式、基本性質(zhì)、基本變形，考查基本數(shù)學思想（數(shù)形結(jié)合思想、建模思想、函數(shù)與方程思想、分類討論思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想）、基本數(shù)學方法（配方法、待定系數(shù)法、消元法等）.

例1 （2012廣東深圳）二次函數(shù)y=x2-2x+6的最小值是？搖？搖 ？搖？搖.

答案 5.

評析 蘇科版《數(shù)學》九年級下冊第19頁習題第7題：通過配方，把下列函數(shù)化成y=a（x+m）■+k的形式，并求出函數(shù)的最大值或最小值：（1） y=x2-2x-3.例1直接源于教材習題的改編，直接考查二次函數(shù)通過配方求最值.

二、 強調(diào)應用

課標特別強調(diào)數(shù)學背景的現(xiàn)實性和現(xiàn)實問題的“數(shù)學化”，以同學們熟悉的現(xiàn)實生活為問題背景，讓同學們從具體的問題情境中抽象出數(shù)學模型，歸納出變化規(guī)律，表示出數(shù)學符號，最終解決實際問題.

蘇科版數(shù)學教材第27頁問題2：如圖1，某噴灌設備的噴頭B高出地面1.2 m，如果噴出的拋物線形水流的水平距離x（m）與高度y（m）之間滿足二次函數(shù)y=a（x-4）2+2.求水流落地點D與噴頭底部A的距離（精確到0.1 m）.

例2 （2012安徽）如圖2，排球運動員站在點O處練習發(fā)球，將球從O點正上方2m的A處發(fā)出，把球看成點，其運行的高度y（m）與運行的水平距離x（m）滿足關系式y(tǒng)=a（x-6）2+h.已知球網(wǎng)與O點的水平距離為9 m，高度為2.43 m，球場的邊界距O點的水平距離為18 m.

（1） 當h=2.6時，求y與x的關系式（不要求寫出自變量x的取值范圍）.

（2） 當h=2.6時，球能否越過球網(wǎng)？球會不會出界？請說明理由.

（3） 若球一定能越過球網(wǎng)，又不出邊界，求h的取值范圍.

分析 （1） 根據(jù)函數(shù)圖象上面的點的坐標應該滿足函數(shù)解析式，把x=0，y=2及h=2.6代入到y(tǒng)=a（x-6）2+h中即可求函數(shù)解析式；（2） 根據(jù)函數(shù)解析式確定函數(shù)圖象上點的坐標，并作出判斷；（3） 先把x=0，y=2，代入到y(tǒng)=a（x-6）2+h中求出a=■；然后分別表示出x=9，x=18時y的值應滿足的條件.

解：（1） 把x=0，y=2，h=2.6代入到y(tǒng)=a（x-6）2+h得2=a（0-6）2+2.6，

∴a=-■，？搖從而y=-■ （x-6）2+2.6.

（2） 當h=2.6時，y=-■ （x-6）2+2.6.

∵x=9時，y=-■ （9-6）2+2.6=2.45>2.43，

∴球能越過網(wǎng).

∵x=18時，y=-■ （18-6）2+2.6=0.2>0.

∴球會過界.

（3） x=0，y=2，代入到y(tǒng)=a（x-6）2+h得a=■；

∵x=9時，y=■ （9-6）2+h=■>2.43，則 h>■.

x=18時，y=■ （18-6）2+h=8-3h≤0 ， 則h≥■.

綜上可得，h≥■.

三、 重視綜合

從各地的中考數(shù)學壓軸題中不難發(fā)現(xiàn)壓軸題都不約而同地趨向于對動態(tài)問題的研究，尤其是二次函數(shù)圖象上的動點問題，求線段長度的最值、圖形的周長或面積的最值，動點與定點構(gòu)成的特殊圖形（等腰三角形、直角三角形、等腰梯形、平行四邊形、矩形、菱形、正方形、相似圖形等）更是備受命題者的青睞.

蘇科版《數(shù)學》九年級下冊第35頁復習題第11題：如圖3，在矩形ABCD中，AB=16 cm， BC=6 cm， 動點P、Q分別從點A、C同時出發(fā)，點P以3 cm/s的速度向點B移動，一直到達B點為止，點Q以2 cm/s的速度向點D移動.

（1） 試寫出 P、Q兩點的距離與P、Q兩點的移動時間x（s）之間的函數(shù)關系式；

（2） 經(jīng)過多長時間P、Q兩點之間的距離最小？（注：算術平方根的值隨著被開方數(shù)的增大而增大，隨著被開方數(shù)的減小而減小）

例3 （2012 山東日照）如圖4，矩形ABCD的兩邊長AB=18 cm，AD=4 cm，點P、Q分別從A、B同時出發(fā)，P在邊AB上沿AB方向以每秒2 cm的速度勻速運動，Q在邊BC上沿BC方向以每秒1 cm的速度勻速運動.設運動時間為x秒，△PBQ的面積為y（cm2）.

（1） 求y關于x的函數(shù)關系式，并寫出x的取值范圍；

（2） 求△PBQ的面積的最大值.

解：（1） ∵ S■=■PB·BQ，PB=AB-AP=18-2x，BQ=x，

∴y=■（18-2x）x，即y=-x2+9x（0

（2） 由（1）知：y=-x2+9x，∴ y=-x-■■+■，

∵當0

∴當x=4時，y■=20，即△PBQ的最大面積是20 cm2.

不難發(fā)現(xiàn)，例3與課本復習題非常相似，也是雙動點問題，分別用時間變量x來表示距離和面積，再利用二次函數(shù)配方求最值.

例4 （2012江蘇揚州）如圖5，已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三點，直線l是拋物線的對稱軸.

（1） 求拋物線的函數(shù)關系式；

（2） 設點P是直線l上的一個動點，當△PAC的周長最小時，求點P的坐標；

（3） 在直線l上是否存在點M，使△MAC為等腰三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由.

解：（1） 將A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入拋物線y=ax2+bx+c中，得：

■解得：■

∴拋物線的解析式：y=-x2+2x+3.

（2） ∵點A、B關于對稱軸l： x=1對稱，

∴由幾何知識知，連接BC，直線BC與直線l的交點為P，如圖6.

設直線BC的解析式為y=kx+b，將B（3，0），C（0，3）代入上式，得：

■解得：■

∴直線BC的函數(shù)關系式為y=-x+3.

當x=1時，y=2，即所求點P的坐標（1，2）.

（3） 拋物線對稱軸l的解析式為：x=-■=1，設M（1，m），已知A（-1，0）、C（0，3），則MA2=m2+4，MC2=m2-6m+10，AC2=10.

① 若MA=MC，則MA2=MC2，得m2+4=m2-6m+10，得m=1；

② 若MA=AC，則MA2=AC2，得m2+4=10，得m=±■.

③ 若MC=AC，則MC2=AC2，得m2-6m+10=10，得m=0，m=6.

當m=6時，M、A、C三點共線，構(gòu)不成三角形，不合題意，故舍去，

綜上可知，存在符合條件的M點，其坐標為 （1，■）、（1，-■）、（1，1）、（1，0）.

回顧 （1） 直接將A、B、C三點坐標代入拋物線的解析式中求出待定系數(shù)即可.

（2） 由圖知：A、B點關于拋物線的對稱軸對稱，那么根據(jù)拋物線的對稱性以及兩點之間線段最短可知：若連接BC，那么BC與直線l的交點即為符合條件的P點.

（3） 由于△MAC的腰和底沒有明確，因此要分三種情況來討論：① MA=AC，② MA=MC，③ AC=MC，可先設出M點的坐標，然后用M點縱坐標表示△MAC的三邊長，再按上面的三種情況列式求解.

該二次函數(shù)綜合題涉及拋物線的性質(zhì)及解析式的確定、等腰三角形的判定等知識，在判定等腰三角形時，一定要根據(jù)不同的腰和底分類進行討論，以免漏解.