分析易錯點 把握重難點

二次函數y=ax2■+bx+c（a、b、c是常數，且a≠0）是描述現實世界變量之間的關系的重要數學模型，其圖象和性質都比一次函數和反比例函數復雜，二次函數與一元二次方程聯系緊密，相關的計算量也較大，特別是二次函數的應用更加廣泛和靈活多變，因此本章的學習有一定難度，同學們常常會在以下方面出現錯誤.

對二次函數概念的理解不到位

例1函數y=（m+2）x■+2x-1是二次函數，則m=？搖？搖？搖 ？搖.

錯誤解答？搖由m2-2=2，得m=±2，

所以當m=±2時，函數y=（m+2）x■+2x-1是二次函數.

正確解答 函數y=（m+2）x■+2x-1是二次函數，所以m2-2=2且m+2≠0.

由m2-2=2，得m=±2，由m+2≠0得m≠-2，所以m=2.

點評 一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常數，且a≠0）的函數稱為二次函數，其中二次項系數a≠0是經常考查的知識點，這是一個隱含條件，務必牢記.

二次函數平移后的函數關系式易寫錯

例2 將二次函數y=-■x2的圖象向左平移4個單位可得函數？搖？搖 ？搖？搖的圖象.

錯誤解答 y=-■（x-4）■.

正確解答 y=-■（x+4）■.

點評 1. 二次函數圖象的上下平移較簡單，二次函數y=a（x-h）2+k向上平移m個單位得y=a（x-h）■+k+m，向下平移m個單位得y=a（x-h）■+k-m.二次函數圖象的左右平移后的關系式易出錯，結論常常會寫反了，上例錯解即是此類錯誤，實際上二次函數y=a（x-h）■+k向左平移n個單位為y=a（x-h+n）■+k，向右平移n個單位為y=a（x-h-n）■+k.

2. 在平移圖象時，圖象上面所有點都作同樣的平移，因此研究二次函數圖象平移時，由它的頂點平移情況來進行判斷會比較簡單.如本例y=-■x2的頂點為（0，0），圖象向左平移4個單位，則新的頂點坐標為（-4，0），因此向左平移4個單位后的函數關系式為y=-■（x+4）■.

二次函數的系數a、b、c與圖象位置之間關系

例3 已知二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，分析以下4個結論：

① abc>0，② a+b+c<0，③ a-b+c<0，④ 2a+b<0，其中正確的是？搖？搖？搖 ？搖.

錯誤解答 ③.

正確解答 ③④.

點評 本例4個結論中，結合圖象易得a<0，c>0，b>0， 故①錯誤；當x=1時，y>0，即a+b+c>0，當x=-1時，y<0，即a-b+c<0，故②錯誤，③正確；由x=-■<1且a<0，得-b>2a，即2a+b<0，故④正確.對于④2a+b<0，看到2a，b要聯想到對稱軸x=-■，這往往易被同學們忽略，從而導致錯誤.

同一平面直角坐標系中涉及幾類函數圖象的問題

例4 下列各圖是在同一直角坐標系內二次函數y=ax2+（a+c）x+c與一次函數y=ax+c的大致圖象，其中正確的是（ ）

錯誤解答 C.

正確解答 D.

點評 1. 解決此類問題可采用排除法，選項A中由拋物線開口方向知a<0，由一次函數圖象知a>0，矛盾，故錯誤；同理得選項B也錯誤；選項C，由拋物線位置得a>0，c<0，由直線位置得a>0，c<0，兩圖象都與y軸交于點（0，c），二者相符；同理選項D也相符.再觀察選項C與選項D，不同的是另一個交點的位置，于是解方程組y=ax2+（a+c）x+c，y=ax+c，得x1=0，y1=c，或x2=-■，y2=0.故兩個圖象的交點坐標為（0，c）和-■，0，即另一個交點-■，0在x軸上，故選項D正確.

2. 本例最易錯的地方是發現選項C不矛盾，選項D就不再觀察和考慮了，而直接選C.在解題時一定要仔細觀察，把題目讀完.數形結合，靈活運用一次函數、反比例函數、二次函數等各類函數的性質與圖象特征（特別是交點）來解決問題.

函數與方程的關系問題

例5 若函數y=mx2-6x+2的圖象與x軸只有一個公共點，求m的值.

錯誤解答 因為函數y=mx2-6x+2的圖象與x軸只有一個公共點，所以b2-4ac=0，即（-6）2-4m×2=0，m=■.

正確解答 若m=0，則y=-6x+2，函數圖象與x軸只有一個公共點；

若m≠0，則y=mx2-6x+2為二次函數，圖象與x軸只有一個公共點時b2-4ac=0，即（-6）2-4m×2=0，所以m=■.

所以，函數y=mx2-6x+2的圖象與x軸只有一個公共點時，m=0或m=■.

點評 本例應分類討論，容易出現漏掉m=0時函數為一次函數的情況.避免錯誤的方法是認真讀題和審題.

利用二次函數求最大（小）值時忽略自變量的取值范圍

例6 如圖，已知邊長為4的正方形CDEF截去一角后變成五邊形ABCDE，其中AE=2，BF=1.請在AB上求一點P，使矩形PNDM面積最大.

錯誤解答 設點P到EF距離PQ=x，則PN=4-x，FG=PQ=x，GB=1-x.

由△BPG∽△BAF，得■=■，即■=■，所以PG=2（1-x），所以PM=4-PG=4-2（1-x）=2+2x，則

矩形PNDM的面積S=PN·PM=（4-x）（2+2x）=-2x2+6x+8=-2x-■■+■，

所以，當x=■時，S■=■.

正確解答 上文已求出矩形PNDM的面積S=-2x-■■+■.

則此二次函數圖象頂點為■，■，而自變量取值范圍為0≤x≤1，■不在其內，對稱軸左側y隨x的增大而增大，當x=1時，S有最大值.

所以，當x=1時，S■=12.即點P取在B處時，矩形PNDM面積最大.

點評 二次函數在某部分區間上的最值不一定在頂點處.本例錯解就是因為忽略了自變量的取值范圍.在利用二次函數求最值時，列出函數關系式后，一定要求出自變量的取值范圍.如果頂點橫坐標在取值范圍內，則最值就是頂點的縱坐標；如果頂點橫坐標不在取值范圍內，則根據自變量的取值范圍，確定圖象的最高點或最低點后求出最值.