理解概念 避免混淆

各位同學，學數學做錯題可能是大家經常遭遇的.在蘇科版九年級《數學》下冊第七章《銳角三角函數》中，同樣會有一些同學產生這樣或者那樣的錯誤.例如：運用正弦、余弦、正切的概念及其關系式時，計算易錯，名稱易混淆，特殊角的三角函數值易混淆，也容易把一個角與其余角的三角函數值混淆，還可能將坡度、坡比，仰角、俯角等概念混淆.下面舉幾個例子加以剖析：

例1 在Rt△ABC中，如果各邊長都擴大為原來的2倍，則銳角A的正切值（ ）

A. 擴大2倍 B. 縮小2倍 C. 擴大4倍 D. 沒有變化

錯解 選A.

錯解分析 該題選A是對銳角三角函數的定義不理解所致，根據銳角三角函數的定義可知應選D. 同學們可自己畫出草圖，結合圖形分析.

正解 D.

例2 在△ABC中，sinA=■，且a=4，求c、b的值.

錯解 ∵sinA=■=■，∴■=■，∴c=6.由勾股定理，得b=■=■=■=2■.

錯解分析 對銳角三角函數的適用條件沒有認真思考，△ABC并沒有說是直角三角形，所以不能簡單地當作直角三角形來求.

正解 如果∠C=90°，上述解法正確；如果∠C≠90°，則b、c的值不能確定.

例3 在△ABC中，∠B=90°，BC=3，AB=5，求tanA、cosA的值.

錯解 在Rt△ABC中，AB=■=■=4， ∴tanA=■=■，cosA=■=■.

錯解分析 題中已指出∠B=90°，所以AC應為Rt△ABC的斜邊，而上述解法是從印象出發，誤以為∠C的對邊AB是斜邊，因此，解題時應認真審題，注意所給條件，分清斜邊和直角邊，有效的解決辦法是解題時自己畫出草圖.

正解 在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=■=■=■，∴tanA=■=■，cosA=■=■=■■.

例4 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=2，求sinA、tanA的值.

錯解 在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AC=■BC，∴ ∠B=30°. ∴ ∠A=90°-∠B=60°.

∴ sinA=sin60°=■，tanA=tan60°=■.

錯解分析 解決本題時有部分同學認為，直角三角形中，一條直角邊等于另一條邊的一半，那么這條邊所對的角就是30°，沒有分清斜邊和直角邊.

正解 在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=■=■=■，

∴sinA=■=■=■■，tanA=■=■=2.

例5 如圖1，飛機于空中A處，測得地面目標B處的俯角為α，此時飛機高度AC為a m，則BC的距離為（ ）m

A. a·sinαB. ■C. ■D. ■

錯解 在Rt△ABC中，∠BAC=α，AC=a，∴ ■=tanα，∴ BC=AC·tanα=a·tanα.

故選A.

錯解分析 本題的錯誤在于沒弄清俯角的定義，俯角是從上往下看時，視線與水平線的夾角，所以∠DAB=α，而不是∠BAC=α.

正解 ∵ 飛機在A處目測B的俯角為α，∴ ∠ABC=∠DAB=α.又∵ 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=a，∴ tan∠ABC=■. ∴ BC=■=■.

故選B.

例6 水庫大壩的橫斷面如圖2，壩頂寬5 m，壩高20 m，斜坡AB的坡度i=1：2.5，斜坡CD的坡度i=1：2，求斜坡AB的坡角α及壩底AD的寬和斜坡AB的長.如果壩長150 m，那么整個壩體有多少土方？

錯解 作BE⊥AD于點E，CF⊥AD于點F.在Rt△ABE和Rt△CFD中，

∵■=■，■=■，∴AB=2.5BE=2.5×20=50（m）.CD=2CF=2×20=40（m）.

∴AE=■=■=10■（m），

DF=■=■=20■（m），

AD=AE+EF+DF=10■+5+20■≈91.17（m）.

又∵斜坡AB的坡度i=sinα=1：2.5=0.4，∴α =23°35′，

整個壩體土方=150×■=144 255（m■3）.

錯解分析 這里錯在把坡度看成是坡面的鉛直高度與坡面長的比，這是沒有理解坡度這個概念造成的.實際上，坡度是坡面鉛直高度h與水平寬度l的比.本題中AB的坡度i=■=■.

正解 作BE⊥AD于點E，CF⊥AD于點F.在Rt△ABE和Rt△CFD中，

∵■=■，■=■，

∴AE=2.5BE=2.5×20=50（m），DF=2CF=2×20=40（m）.

∴AD=AE+EF+DF=50+5+40=95（m）.

又∵斜坡AB的坡度i=tanα=1：2.5=0.4，∴α =21°48′.

∵sinα=■，∴AB=■=■=53.9（m），

整個壩體土方=150×■=150 000（m■3）.

以上錯誤的產生大多是同學們對相關概念理解不清造成的，所以解題之前不要從經驗出發，不要從印象出發，務必認真審題，搞清概念，細心計算，才能確保解題正確.