透視命題思路 走進考題背后

例1 一紙箱內有紅、黃、藍、綠四種顏色的紙牌，且如圖所示為各顏色紙牌數量的統計圖.若小華自箱內抽出一張牌，且每張牌被抽出的機會相等，則他抽出紅色牌或黃色牌的概率為（ ）

A. ■ B. ■ C. ■ D. ■

解：B.

命題思路 簡單隨機事件的概率計算可以直接運用公式，即概率=發生的事件數與總事件數之比，本題設計條形統計圖給出基本事件數，增加了題目的綜合性和難度.還要特別注意本題所求的結論的特別之處，以往是求抽出一種顏色牌的概率，而此題是要求出抽到紅色牌或黃色牌的概率.

例2 如圖所示的圓面圖案是用相同半徑的圓與圓弧構成的.若向圓面投擲飛鏢，則飛鏢落在黑色區域的概率為 .

解：■.

命題思路 幾何概率的求法：計算陰影區域的面積在總面積中占的比例，這個比例即事件（A）發生的概率.本題在一幅美觀的圖形中設計了計算面積的“障礙”.

例3 如圖，大小、質地相同，僅顏色不同的兩雙拖鞋（分左、右腳）共4只，放置在地板上.

（1） 若先將兩只左腳拖鞋中取出一只，再從兩只右腳拖鞋中隨機取出一只，求恰好匹配成相同顏色的一雙拖鞋的概率；

（2） 若從這4只拖鞋中隨機取出兩只，利用樹狀圖或表格列舉出所有可能出現的結果，并求恰好匹配成相同顏色的一雙拖鞋的概率.

解：（1） ？搖畫樹狀圖：？搖 ？搖？搖或 列表：

∴P（恰好匹配）=■ =■.

（2） 畫樹狀圖：？搖？搖？搖 或列表：

∴P（恰好配對）=■=■.

命題思路 本題在相同的大背景下設計兩個不同的問題，但使用的解題策略相同，即列表法與樹狀圖法，它們是求簡單隨機事件的概率的基本方法，必須熟練掌握.

例4 小沈準備給小陳打電話，由于保管不善，電話本上的小陳手機號碼中有兩個數字已模糊不清.如果用x、y表示這兩個看不清的數字，那么小陳的手機號碼為139x370y580（手機號碼由11個數字組成），小沈記得這11個數字之和是20的整數倍.

（1） 求x+y的值；

（2） 求小沈一次撥對小陳手機號碼的概率.

解：（1） ∵1+3+9+x+3+7+0+y+5+8+0=x+y+36=20n（n為正整數），

又∵0≤x≤9，0≤y≤9，∴0≤x+y≤18，36≤x+y+36≤54，即36≤20n≤54.∴n=2.∴x+y=4.

（2） ∵x+y=4，且0≤x≤9，0≤y≤9，∴有① x=0，y=4；② x=1，y=3；③ x=2，y=2；④ x=3，y=1；⑤ x=4，y=0這5種情況，∴一次撥對小陳手機號碼的概率為■.

命題思路 以概率為考點，切入點是求簡單的二元一次方程的不定解，增加了難度.

例5 某校舉行以“助人為樂，樂在其中”為主題的演講比賽，比賽設一個第一名，一個第二名，兩個并列第三名.前四名中七、八年級各有一名同學，九年級有兩名同學，小蒙同學認為前兩名是九年級同學的概率是■，你贊成他的觀點嗎？請用列表法或畫樹形圖法分析說明.

解：不贊成小蒙同學的觀點.

記七、八年級兩名同學為A，B，九年級兩名同學為C，D.

畫樹形圖分析如下：

由上圖可知所有的結果有12種，它們出現的可能性相等，滿足前兩名是九年級同學的結果有2種，所以前兩名是九年級同學的概率為■=■.

命題思路 本題實際上是計算概率的基本模型之一 ：袋中取球，取后不放回.

例6 現在初中課本里所學習的概率計算問題只有以下類型：

第一類是可以列舉有限個等可能發生的結果的概率計算問題（一步試驗直接列舉，兩步以上的試驗可以借助樹狀圖或表格列舉），比如擲一枚均勻硬幣的試驗；

第二類是用試驗或者模擬試驗的數據計算頻率，并用頻率估計概率的概率計算問題，比如擲圖釘的試驗.

解決概率計算問題，可以直接利用模型，也可以轉化后再利用模型.

請解決以下問題：

（1） 如圖，類似一個尋寶游戲，若寶物隨機藏在某一塊磚下（圖中每一塊磚除顏色外完全相同），則寶物藏在陰影磚下的概率是多少？

（2） 在1～9中隨機選取3個整數，若以這3個整數為邊長構成三角形的情況如下表：

請你根據表中數據，估計構成鈍角三角形的概率是多少？（精確到百分位）

解：（1） 所有等可能的結果共有16種，藏在陰影磚下的結果共有4種.

所以P（寶物藏在陰影磚下）=■=0.25.

（2） 各組實驗中構成鈍角三角形的頻率依次是0.24，0.26，0.21，0.22，0.22.

所以P（構成鈍角三角形）=0.22.

命題思路 當試驗的所有可能結果不是有限個或各種可能結果發生的可能性不相等時，常根據隨機事件發生的頻率所逐漸穩定到的某個常數去估計這個事件所發生的概率.本題設計兩問的目的是考查同學們的辨別能力.