合情推理何去何從

中圖分類號：G623.5 文獻標志碼：B 文章編號：1673-4289（2012）11-0021-03

長期以來，數學教學十分強調推理的嚴謹性，過分渲染邏輯推理的重要性而忽視了生動活潑的合情推理，使人們誤認為數學就是一門純粹的演繹科學。事實上數學發展史中的每一個重要發現，除演繹推理外，合情推理也起重要作用。合情推理與演繹推理是相輔相成的。學生獲得數學知識的過程實質是從合情推理上升到演繹推理的過程。

所謂“合情推理”，就是合理的猜測。它以類比和歸納為主要形式，對培養學生創造性思維是不可缺少的。合情推理既是進行數學研究和數學學習的必要技能，也是未來生活進行有效思維的需要。因此，合情推理作為學生的一種基本數學素養，對于培養他們的探索能力和創新精神有著重要的教育價值。那么，我們數學教學中合情推理的現狀如何呢？

一、數學合情推理，在追求什么？

現狀一：走馬觀花，缺少對推理的深度理解

筆者曾聽過《找規律》（蘇教版五下）一課，在總結歸納規律時，一個教學細節引起了筆者的注意。

教師出示學生完成的表格：

師：仔細觀察，有什么發現？

生1：平移的次數加上每次框幾個數等于10。

生2：數的總個數減去每次框的個數等于平移的次數。（一排有10個方格，分別寫有1～10這10個自然數。）

生3：得到不同和的個數比平移的次數多1。

……

教師對學生的發現給予充分肯定后，緊接著就讓學生利用規律去解決一些實際問題。

這時，坐在筆者身邊的一個女孩嘀咕：怎么這么巧？10減去每次框的個數正好等于平移的次數？

課后，那個女孩的嘀咕聲不停地在我耳旁回蕩：“10減去每次框的個數為什么正好等于平移的次數”？是啊，我們只引導學生利用收集到的數據進行合情推理，發現規律，大多數學生雖然可以通過算式10-2+1=9、10-3+1=8、10-4+1=7、10-5+1=6推理得出“總個數-框的個數+1=不同的和”這個“規律”。但是否就能意味著學生“真理解”規律背后數量之間的本質聯系？從這個女孩的嘀咕中，不難發現大多數學生可能只是走馬觀花，在表面熱鬧的合情推理中沒有真正形成自己的知識建構。因此我們有必要通過質疑與反思，引導學生體會規律存在的必然性與合理性，深入理解推理的本質內涵。

現狀二：強勢引領，忽視學生的自主建構

這是一位老師在學校一次教研活動中上《能被3整除數的特征》一課的教學片斷：

師：誰來說說3的倍數有哪些？

生：3、6、9、12、15、18……

師：這些數都是3的倍數，也就都能被3整除。觀察這些數你能猜猜能被3整除數的特征嗎？

生1：看個位上能不能被3整除。

生2：不行，比如13、23就不能被3整除。

生3：能被3整除數的個位上1-9個數字都有可能出現，不能僅從個位來判斷。

師：再看看與這些數各數位上的數的前后順序有沒有關系？

生：沒有關系，21能被3整除，12也能；14不能被3整除，41也不能。

師：那我們同學再小組討論討論，能被3整除數的特征究竟是什么？把各個數字加起來試一試。

生：我們發現了！如果把這些數各位上的數字加起來，它們的和也能被3整除。比如12，1+2=3；24，2+4=6。

師：其他同學自己找幾個數試試是不是這樣？

生：（驚喜的）是的！

師：由此你發現能被3整除數特征是什么？

生：各位上數字之和能被3整除！

……

在本片斷教學中，教師注重強調數學合情推理的邏輯性，先引導學生用能被2、5整除數的特征看個位的經驗進行推算，發現僅從個位不能建立特征后進而研究發現數字的順序關系也不能被3整除，最后在老師的暗示下，研究發現各個數位上的數字之和能被3整除，這個數就能被3整除。學生在探究能被3整除數特征的過程中，形成從特殊到一般的認知建構歷程，從中培養了學生觀察、分析、比較、聯想等思維能力。但深入到教學的背后，教師步步為營的程序化教學過程是否過于強勢，這樣的課堂學生的學習積極性是否能得到有效激發？教師的引導是否過分而影響學生知識的自主建構？

現狀三：機械模仿，缺乏推理的價值體驗

這是一位青年教師《比的基本性質》的教學設計：

研究材料：

5÷6=（5×◇）÷（6×◇）=（5÷2）÷（6÷◇）

8/13=8×2/13×◇=8÷◇/13÷1

5∶8=◇/◇∶◇/◇=◇÷◇∶◇÷◇

解決依據：請問做題的依據是什么？

合情推理：在整數除法中有“商不變性質”，在分數中也有“分數基本性質”。比與整數除法和分數有如此密切的關系，那么，在比中是否有類似的性質呢？

導出新知：比也有類似的性質，并能進一步推出這一性質叫“比的基本性質”。

比的基本性質的知識建構應結合相應的生活情境展開，讓學生在豐富的情境體驗中理解比的基本性質。然后再結合比、除法、分數的關系幫助學生進一步理解三種性質內在的本質聯系。而這位青年教師雖然是建立在學生原有經驗和知識的基礎上，逐步進行合情推理得到結論，但顯然這樣的教學設計過于讓學生進行機械地模仿，缺乏思維的含金量。這種從一個極端走向另一個極端的做法阻礙了兒童類比、遷移等思維能力的發展，更缺乏數學推理思維的體驗，不利于培養學生的推理能力。

二、數學合情推理，應追求什么？

（一）過程到意識的培養，是數學合情推理之本源

合情推理，要給學生留下什么？抑或給學生產生怎樣的影響？前蘇聯科學家凱德洛夫曾明確地說：“沒有任何一個創造性行為能離開合情推理”。數學合情推理是直接反映數學對象、結構以及關系的思維活動。

鑒于小學生的年齡與認知特點，他們不可能通過具有嚴格標準的邏輯推理來發現和掌握數學原理和概念。因此，在小學數學教材中大量地采用了像數學猜想、枚舉歸納、類比遷移等合情推理的方法。所以，我們在教學中，應給學生提供具有充分再創造的情境，以激勵學生進行再創造的活動，培養兒童的推理意識。把數學知識學習的過程展開、還原，讓學生經歷觀察、比較、歸納、類比……即合情推理提出猜想，然后再通過演繹，推理證明猜想正確或錯誤。

例如《乘法分配律》教學中，拓展到三個數或更多的數的和與一個數相乘。

師：通過聯想，同學們由“兩個數的和”拓展到了“兩個數的差”，這是一種很有價值的思考。確實，有時呀，從已有的結論中通過適當的變換、聯想，同樣可以形成新的想法，進而形成新的結論。

師：這不，有一個同學就暗暗在想：如果把乘法分配律中“兩個數的和”換成“三個數的和”、“四個數的和”或更多個數的和，不知道結果還會不會不變？（出示：（a+b+c）×d=a×d+b×d+c×d）你們明白他的意思嗎？他想的有道理嗎？

生：有。

師：這是一個與眾不同的、全新的猜想！如果猜想成立，它將大大豐富我們對“乘法分配律”的認識。你也能像剛才一樣用合適的方法試著進行驗證嗎？

生舉例驗證，集體交流。

波利亞認為：“說得直截了當一點，合情推理就是猜想”。我們在上面的例子中創設這樣一個大膽猜想情境，鼓勵學生對具體問題進行分析，通過觀察、類比、歸納等手段提出猜想。這樣，不僅有助于學生掌握數學知識，滿足學生的求知欲望，更激發了學生合情推理的內在需求。數學課堂不應該成為學生接受知識的場所，而應成為學生大膽創新，勇于推理的舞臺。當我們放開手腳后，你會發現：學生的創造力真是不可估量！

（二）方法到思想的漸進，是數學合情推理之內涵

新課標對推理能力做了如下要求：“能通過觀察、實驗、歸納、類比等獲得數學猜想，并進一步尋求證據、做出證明或尋求反例”。通過不完全歸納獲得結論，是合情推理的結果。我們需要合情推理，使它成為學生充分展示自我的舞臺；我們也需要理性思維，逐步培養學生嚴謹的態度和科學的方法。

在執教“交換律”一課時，學生根據一個特例得出結論：交換兩個加數的位置和不變，舉例驗證后全班交流。

師：你們舉了哪些例子，又有怎樣的發現？

生1：我舉了三個例子，7+8=8+7，2+9=9+2，4+7=7+4。從這些例子來看，交換兩個加數的位置和不變。

生2：我也舉了三個例子，5+4=4+5，30+15=15+30，200+500=500+200。我也覺得，交換兩個加數的位置和不變。

師：兩位同學舉的例子比較而言，你更欣賞誰？

生3：我更欣賞第一位同學，他舉的例子很簡單，一看就明白。

生4：我不同意。如果舉的例子都是一位數加一位數，那么我們最多只能說，交換兩個一位數的位置和不變。至于加數是兩位數、三位數、四位數等等就不知道了。

生5：我更喜歡第二位同學的，她舉的例子更全面。

師：如果這樣的話，那你們覺得下面這位同學的舉例，又給了你哪些新的啟迪？

（教師出示作業紙：0+8=8+0，6+21=21+6，1/9+4/9=4/9+1/9）

生6：我們在舉例時，都沒考慮到0的問題，但他考慮到了。

生7：他還舉到了分數的例子，讓我明白了，不但交換兩個整數的位置和不變，交換兩個分數的位置和也不變。

教師組織了對舉例驗證的兩次探討，使學生體會到舉例不應只追求簡單，舉例的覆蓋面越廣，代表性越強，結論的可靠性就越高。例子的多元化、特殊性恰恰是結論準確和完整的前提，在驗證的過程中讓數學嚴謹的態度和科學的方法浸潤其中。

（三）經驗到策略的積累，是數學合情推理之追求

牛頓早就說過：“沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發現”。在教學中重視合情推理教學，有助于學生在經驗的累積中思想方法，增強形成推理的信心與勇氣。

例如：學習長方形面積時，組織這樣的數學活動：

在三個不同長方形中，讓學生用1平方厘米的小正方形擺一擺，再把它們的長、寬和面積記錄下來，讓學生討論發現了什么規律？從而歸納出長方形面積公式，這個公式是否正確呢？讓學生自己隨意畫一個長和寬是整厘米的長方形，先用公式計算出它的面積，再用小正方形擺一擺，驗證一下這樣計算是否正確。

以上例子注意突出圖形性質的探索過程，重視直觀操作和邏輯推理的有機結合，通過多種手段，如觀察度量、實驗操作、圖形變換、邏輯推理等來探索圖形的性質，同時也有助于學生空間觀念的形成，合情推理的方法為學生的探索提供努力的方向。由此可見，學生合情推理可以積累相關經驗，形成終身受用的策略，培養解決新穎、較難的問題的信心與能力，也為其將來的成長積聚智慧！

斯圖爾特曾經說過：“數學的全部力量就在于合情推理和嚴格性巧妙地結合在一起，受控制的精神和富有靈感的邏輯”。合情推理過程是培養學生有根有據地進行思維的過程，因此在教學中，必須充分挖掘教材中有利于發展合情推理的潛在因素，根據學生年齡特征和認知結構，有意識地給學生提供合情推理的機會，營造合情推理的風氣，為學生合情推理思維的形成創造條件。讓學生邁步在數學合情推理的陽光大道上，為他們的未來奠基，應成為我們每一個數學教師努力的方向！

（作者單位：金壇市華城實驗小學，江蘇，常州 213200）