橫向數學化

一、橫向數學化的缺失：導致高中生數學學習方式現狀的主要原因

身居教學一線的周洪兆老師通過對30節數學課的調研，發現目前高中生數學學習方式現狀表現為：強調多樣性而缺少實效性，重視先進性而缺少科學性，重視主體性而缺少主導性三種形態[1]。其調研結果顯示，目前數學教學的方式仍以被動的接受式學習為主，這與筆者的調查結果相似。學生的數學學習方式仍不理想，主要表現為自主學習的意識與能力薄弱，數學閱讀觀念淡薄，探究交流還未受到重視[2]。究其根本原因，作者認為是因循守舊、重本輕人（即生本意識不強）與忽視情感三方面。對此觀點，筆者表示贊同之余不禁反思：是什么原因導致教師不敢突破封閉的課堂教學模式而開放自己的課堂呢？為什么不放心將學習的任務交給學生自主地探究呢？筆者認為，還得從教師對數學化的理解去研究。數學具有自然形態、學術形態與教育形態三種形態。作為教學任務的數學知識是經過精心挑選且經過教育學與心理學的加工之后，才能進入課堂的。也就是說，“用教材教，而不是教教材”，教師在面對數學教材時，除了要有自己的獨特見解，還得有再加工的過程。如何重新審視教材呢？筆者認為，用數學化的思想，即用數學的眼光觀察、用數學的思維思考。

二、橫向數學化的來由、含義及功能

數學化思想是荷蘭著名數學教育家漢斯·弗賴登塔爾于1973年在《作為教育任務的數學》一書中首次提出的。該書的基本教育主張是數學應該屬于所有的人，我們必須把數學教給他們。但他又提出，每一個受教育者都是帶著自己獨特的數學現實來學習數學的，這里的數學現實是指人們利用數學概念和數學方法對客觀事物認識的總體，其中既含有客觀世界的現實情況，也包含受教育者使用自己的數學能力觀察這些客觀事物所獲得的認識，即包括客觀世界與學生的數學知識及數學經驗兩個方面。數學現實是一種影響學生接受能力的約束力，在教學實踐中，為了使所有學生都學到與其經驗和能力相適應的數學，就需采取數學化的方式，即數學地組織現實世界。后來，Treffers和Goffree進一步將其分為水平方向的數學化與垂直方向的數學化兩種，也稱之為橫向數學化和縱向數學化。一般來說，橫向數學化可以理解為是某一個問題朝著水平方向的擴展，例如，將一個現實問題轉化為數學問題等；縱向數學化，可以理解為是某一個問題向垂直方向的深入，例如，由特例經推廣而建立一般的公式等[3]。在實際教學中，橫向與縱向并不總是分明的。橫向數學化教育功能主要包括：

（一）橫向數學化注重實踐活動，它是改善學生數學學習方式的重要挈機

反思以往的數學學習，幾乎等同于數學解題。數學解題固然重要，但不能把解題當作數學學習的唯一方式。首先數學問題從哪里來？通過解題習得的思維形式訓練今后又有多大的用處？從學生終身學習與發展的角度來看，真正專門應用數學解決問題的人畢竟是少數，而在日常工作與生活中，幾乎人人都要遇到需要用數學來解決的問題，因此，學生在學習數學知識與技能、接受初步的數學應用訓練的同時，應著重發展數學的意識，使他們處處都能找到運用數學的機會。橫向數學化更多地將實際問題數學化，從真實世界走向符號世界，將非數學事物數學化。這一思想不僅僅體現在新課標理念中，模塊課程的數學教材編寫更是實實在在地反映了這一特點，以生活現象為題、以知識內容為核、以認識邏輯為序（歸納法：具體到抽象），為橫向數學化的學習提供了現成的材料與機遇。學生被置于所給的現實情境之中，首先經過觀察確定情境問題中包含的數學成分。其次，結合學生自身的知識與經驗（即其數學現實的一部分），通過試驗、類比甚至猜測感覺或探索其中蘊含的數學規律，或建立數學成分與已知的數學模型之間的聯系，并將其用數學符號表示出來，建立起學習材料與數學事實之間的本質的、非人為的聯系，這不僅為有意義學習邁出了關鍵的一步，也理清了問題的出處。事實上，提出問題是數學學習的重要組成部分，更是數學創造的出發點。最后，經過推理得出結果。結果可以分為數學事實的產生與數學模型的建立兩種（如基本的數學概念、法則與定理），結果的公式化和形象化，既體現了數學發生的過程，也展示了學生自我。另外，在學習一個數學事實時，往往要從不同的視角去審視、分析，使學習者的認識更加深刻、全面，從而使得它在不同的情境中也能夠被迅速準確地辨認出來，并在遇到合適的條件時能夠順利地得到遷移應用。這時的數學知識就轉化為學生的數學現實。這樣的數學學習方式是豐富的、現實的、探究性的，既可以是自主性的也可以是合作性的，學生經歷了數學知識的發現、發生和發展的過程，為以后的“數學建模”、“數學探究”等專門的學習活動積累了經驗，豐富了自身的數學現實。

（二）橫向數學化的學習使得數學充滿了聯系，使數學學習具有再創造的特點

弗賴登塔爾的另一個觀點是關于數學教學方法的，他認為數學的教與學必須是“再創造”的，并將其解釋為“將數學作為一種活動來進行解釋和分析，建立在這一基礎上的教學方法，我稱之為再創造方法”[4]。這種解釋與分析受到學習者自身的數學現實的約束，所得到的結論必須經過學習者的頭腦，對學習者來說完全是新創造的。這樣的數學學習方式溝通了現實客觀世界、學生的經驗或數學現實與數學事實三者的聯系，使得數學對于學習者來說不是孤立的，而是充滿了聯系的。同時，在這一過程中，學習者借助于操作游戲來演示明顯的數學特征，也迎合了人的游戲本性，使學生感到學習數學本身就是一種生活。

三、橫向數學化的強化：轉變高中生數學學習方式的有效途徑

（一）對“變‘黑白教學’為‘多媒體教學’”的再思考

培養學生學會學習、促進學生學習方式的轉變，是新課程改革的關鍵。但學習方式所提供的只是一個大致的教學框架與核心的理念，至于具體的使用則要依據不同教學內容而使其具有高度的情境化和個性化特征。變“黑白教學”為“多媒體教學”只是對某些特定的數學內容（尤其是解析幾何中點的軌跡的生成與立體幾何圖形的繪畫）而言，與過去的黑板加粉筆的教學手段相比，更加直觀化、動態化與形象化，能夠克服手工制圖的粗糙性與靜態化，從而具有更高的精確性與動態性，能將結果的生成過程清晰地展示出來，但并不是所有的教學內容都需要多媒體，過多的形象化刺激反而會影響抽象思維的發展，尤其是在縱向數學化的過程中有一些弱抽象的問題。這類型問題本身是在數學范疇之內對已經符號化了的問題做進一步抽象化處理以形成新的數學概念、或推廣建立起一般化的理論。那么，在解決這些數學問題時，恐怕會淡化教學形式，更加注重對問題本身的思索、假設與論證了，而且，隨著年級的升高，這種現象會越來越明顯。所以，筆者認為，“黑白教學”也好，“多媒體教學”也好，只是延伸教學的手段，對學生學習方式的性質并不是關鍵的原因，關鍵的原因在于學生對數學化的經歷。

（二）對“變‘灌溉教學’為‘參與教學’”的再思考

學生的學習內容主要是挑選出來的前人積累的且經過教學法加工過的間接經驗，在傳統的數學教學中，通常采用被動接受、強調儲存與強化訓練的教學方式，加之講授法具有在短時間內能傳遞大量信息的優點，講授法便順理成章地成為數學教學的首選方式。在這種重結果輕過程的教學中，結果的生成過程往往被單調機械的條文所取代，學生的數學學習方式中充滿了太多的機械、沉悶和程式化，缺乏生氣、樂趣和對好奇心的刺激，因而，學生在數學學習活動中不能也不允許有自我表現，這樣的教育是背離和諧教育主旨的。這樣做容易造成被動的、接受的、封閉式的學習方式，使學生的主體性受到忽視，久而久之，學習的興趣很難持續，學習的結果也是模仿大于發現創造，難以形成適應科學時代的思維品質。因此，新課標指出“要從學生已有的經驗出發，讓學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型并進行解釋與應用的過程”，“使學生主動地進行觀察、實驗、猜測、驗證、推理與交流”[5]，這一理念不僅從內容上強調了過程，不僅與學生的自我表現緊密相連，而且使學生的探索經歷和得出新發現的體驗成為數學學習的主要途徑，所以，學生有效的數學學習過程應該是建立在原有數學現實基礎上的一個主動建構的過程，是一個充滿了觀察、實驗、猜想、驗證、推理與交流等豐富多彩的數學活動，是富有個性、體現多樣化學習需求的過程。當前的課程改革正努力實現從被動的、接受的、封閉的學習方式到主動的、發現的、合作的學習方式轉換，提倡自主探索、動手實踐、合作交流、數學閱讀等應該成為學生數學學習的主要模式。在這些學習方式中，學生完全參與到整個教學當中，不再是旁觀者。所以，筆者在贊同變“灌溉教學”為“參與教學”觀點之余，希望這一觀點能變為理念扎根于教學實踐中，而不是表面上的熱鬧。

（三）對“變‘書本數學’為‘生活數學’”的再思考

學生的數學學習世界應包含三方面：外在客觀的生活世界、學生先前的知識與經驗世界與“第三世界”（即數學文化-符號世界）三部分，只有能將這三個世界聯系起來的學習才是有意義的學習[1]。建構主義觀點對后兩個方面的聯系關注得多一些，而橫向數學化則將借助于第二方面將第一方面和第三方面聯系起來，是一種有意義的學習方式。高中數學課程標準已充分注意到這一點，并強調“數學教學活動應是學生經歷‘數學化’、‘再創造’的過程”[6]。現實中，學生并不缺乏生活中的數學，難就難在從小就不會將生活數學抽象為形式化與模式化的數學。下面是一位小學數學教師與一位小學生的對話：

老師在批閱前一天的家庭作業時，發現有這么一道題：“52型拖拉機一天耕地150畝，問10天能耕地多少畝？”這位小學生列出了如下的式子：“52×150×10。”老師感到不解，問：“你為什么這樣列？”學生很緊張，低著頭說：“老師，我錯了。”老師又問：“正確的該如何列？”學生答“用除法。”老師追問：“為什么？”學生支支吾吾地說道：“老師，我錯了，用加法。”老師明白了，他根本就不明白自己所列式子的理由，不能再往下問了，再問該說用減法了。于是，老師企圖拋磚引玉地換個生活中例子啟發他：“假如你每天早晨吃2個餅子，那么，5天吃幾個？”“老師，我早晨不吃餅子。”“吃什么？”“吃粽子。”“好，那就說吃粽子吧，假如你每天早晨吃2個粽子，那么，5天吃幾個？”“老師，我吃不了2個。”“那你能吃幾個？”“半個。”“哦，那5天吃幾個？”“2個半。”于是，老師終于找到能把他引到乘法上的道了…

看來，學生不是沒能力理解乘法，只是沒有使數學充滿聯系，確切地說，是沒有找到恰當的從生活數學到抽象化的模式數學的方式，而這恰恰是橫向數學化的優勢，所以，加強橫向數學化的教與學，尤其是在低學段的教學中，“數學要與學生們的生活實踐聯系得緊一點，直觀多一點，動手實驗的多一點，使他們的興趣高一點，自信心強一點”[6]。橫向數學化是一種有意義的教學方法和數學學習方式，并以此作為對變“書本數學”為“生活數學”的進一步思考。

參考文獻：

[1]周洪兆.轉變高中生數學學習方式的思考[J].教學與管理:2010，(12):89-90.

[2]田果萍，張生平，趙霞.高中生數學學習方式的調查與分析[J].教學與管理:2010，(9):52-53.

[3]綦春霞.數學課程論與數學課程教材改革[M].北京：北京師范大學出版社，2001：27.

[4][荷蘭]弗賴登塔爾.作為教育任務的數學[M].陳昌平，唐瑞芬編譯.上海：上海教育出版社，1999：124，59，111.

[5]劉兼，孫曉天.全日制義務教育數學課程標準解讀[M].北京：北京師范大學出版社，2003：66.

[6]嚴士健，張奠宙，王尚志.普通高中數學課程標準（實驗）解讀[M].南京：江蘇教育出版社，2004：300.

（作者單位：大同大學數學與計算機科學學院，山西，大同 037009）