圓融共生:數學思辨的應然追求

數學思辨所指的是用數學的方法從數學角度進行的思考和辨析，涉及思考、分析、辨別、推理、判斷、表述、交流等數學思維過程和活動。數學思辨是邏輯思維（主要用于解決問題）與非邏輯思維（主要用于發現問題）的有機統一。從表現方式上講，數學思辨主要分為隱性思辨和顯性思辨兩種方式。隱性思辨也就是學生內在的思考、分析、推理和判斷，是一種內隱的心理活動及思維活動。顯性思辨主要是學生運用規范的學理性語言將內心的隱性思辨顯性地呈現和表述出來，從而闡明觀點、交流思想、生成智慧。

我認為，數學思辨應該是基于以下幾個方面的思辨：基于問題的全局性、針對性思辨；基于觀點和答案的拓展性、批判性思辨；基于數學知識層面的認知性、本質性思辨；基于數學方法策略的多元性、智慧性思辨。

數學思辨的圓融共生包括：數學思維上邏輯思維與非邏輯思維的圓融共生：數學課堂上個體思辨與群體思辨的圓融共生；數學學習品質上自主思辨與他主思辨的圓融共生；數學學習內容上針對性思辨與拓展性思辨的圓融共生；數學思辨方式上隱性思辨與顯性思辨的圓融共生，等等。

培養學生的數學思辨力必須抓住“思辨”訓練這個根本。在訓練過程中，既要促其內“思”，更要導其外“辨”，還要教其圓“巧”，三者密切聯系，相輔相成，只有如此，才能真正達成圓融共生的數學思辨。

一、“知”與“能”圓融共生：創鯰魚效應，活思辨因子

1.明晰數學的核心概念，凸顯思辨的深刻性。

“數學知識中最普遍的形式是概念，所以概念學習是數學學習的核心。數學實踐證明，學生在解決數學問題時出錯或產生困難，原因往往在于概念的了解上產生了障礙。因此，必須十分重視概念學習”。只有掌握了數學核心概念，學生才能真正開展數學思辨，才能洞察本質，由表及里，去偽存真，認清數學問題的本來面目。

例如教學“素數和合數”，在思辨“所有的素數都是奇數嗎？所有的偶數都是合數嗎”時，學生首先要分別明晰“什么叫素數；什么叫合數；什么叫奇數；什么叫偶數”，只有搞清楚這4個核心概念后，才能做出正確的判斷。

2.厘清問題的本質要求，聚焦思辨的縝密性。

為了厘清數學問題的內涵、本質和內在規律性，必須引導學生多視角、多側面、多因素、多向度地進行數學思考、辨析和論證，必須對可能出現的情況、可能起作用的因素、可能發生的后果逐一進行考察和預測，然后經過分析、綜合，依據對數學問題的主要矛盾的基本判斷做出科學的抉擇或決策。

例如，本人在支教期間執教示范課“解決問題的策略”（五上）：

在教學過程中通過操作、計算、填表、交流、驗證等活動，讓學生經歷用列舉的策略解決簡單實際問題的過程，從而厘清了問題的本質，并且深深懂得要想解決“有多少種不同的圍法”，必須有條理地一一列舉，做到不遺漏、不重復。

3.領悟思辨的策略思想，關注思辨的靈活性。

在教學中，教師應循序漸進地引領學生領悟并掌握數學思辨的方法策略，諸如事實思辨、類別思辨、對比思辨、分層思辨、層進思辨、反面思辨及引申思辨等。只有如此，學生才真正領悟數學思辨的真諦。

例如，我在執教市青藍課程公開課“簡單周期現象中的規律”時這樣引領：

思辨問題（1）：觀察這些物體，它們排列有規律嗎？（目的：使學生初步觀察、尋找并感知這些物體的排列都是有規律的）

思辨問題（2）：從左邊起，盆花是按什么順序擺放的？彩燈和彩旗呢？（目的：使學生由近及遠地分別觀察和找尋這三種物體的擺放規律）

思辨問題（3）：這三種物體排列的規律有什么共同之處？（目的：使學生深入體會它們符合一組一組依次重復出現的周期規律）

二、“理”與“靈”圓融共生：構學習場域，顯思辨魅力

1.訓練學理性語言，追求數學思辨的嚴謹與規范。

學生數學思辨能力的強弱往往體現在能否善于選擇富有嚴謹和規范的學理性語言來展示數學觀點。數學學理性語言的表達形式與它的含義之間都有著確定的關系，詞序不同或一字之差就可能導致意義的截然不同，如自然語言中“圍成”和“組成”是沒有明顯區別的，但在數學課堂中對“角”的定義表述是“由一點引出兩條射線所組成的圖形叫做角”；對“三角形”的定義表述是“由三條線段圍成的圖形叫做三角形”。細細品味、思辨，我們便會發現：表述時通過“組成”和“圍成”這兩個規范的數學學理性語言的運用，能夠本質地區分出這兩個圖形一個是不封閉的平面圖形（角），另一個是封閉的平面圖形（三角形）。

2.開展思辨性交流，追求數學思辨的靈動與智慧。

（1）互補式思辨：取長補短、相互拓展。

在思辨交流中，一方順承另一方的意思說，對一方所交流的思辨內容進行拓展性補充，深化另一方的思辨意思。

例如：五年級“圓的認識”教學片段

師：剛才我們在黑板上畫了圓，在紙上畫了圓，又在空中畫了一個圓，這幾次畫圓，雖然地點變了，畫圓的工具也各不相同，但是它們是否存在相同之處？請大家帶著這個問題小組內互動思辨。

生1：它們都要依靠一樣東西。

生2：它們都要先確定一個中心點，圍繞這個點旋轉。

生3：它們都要旋轉一周，也就是要旋轉360度。

師：這樣行嗎？（教師演示：圍繞緊靠小球的地方定點旋轉）

學生紛紛領悟，并異口同聲：還要拉開一定的距離。

師：現在誰來總結一下問題的答案？

生：我們發現無論用什么畫圓、在哪兒畫圓，它們都有三個共同的特點：第一，確定一個點；第二，確定一段距離；第三，旋轉一周。

（2）正反式思辨：左右兼顧、滴水不漏。

在思辨交流中，一方對另一方的思辨表述方式及角度呈現一正一反，雙方從正反兩方面、兩個維度說，使思辨內容左右兼顧、滴水不漏。

例如教學“小數的性質”時，當小數的性質揭示后，教師出示：

在學生回答后，教師可以進一步引領：舉例說明0可以去掉及0不可以去掉的理由，從而激發學生不僅學會正面思辨：“17.000中的3個0都可以去掉，因為這3個0都是小數末尾的0，依據是小數的性質‘小數的末尾添上0或去掉0，小數的大小不變’”，而且學會了反面思辨：“如果將300個位和十位上的0去掉的話，就變成3了，進而改變了原來數的大小，因此整數部分數位上的0不能去掉”。通過這樣正反兩個方面的思辨，加深了學生對小數性質的理解。

（3）相映式思辨：相錯交融、和諧統一。

在思辨交流中，一方與另一方表述的各是一個觀點、一種發現，各自具有一個完整的意思和內涵，而各方思辨內容又能相互襯托、交相輝映，和諧地統一于一個題旨之中。

例如：四年級下冊“認識平行四邊形”一課，針對“平行四邊形的邊有什么特點？”這一問題，有學生通過測量得出“上下兩條邊長度相等、左右兩條邊長度也相等”；有的同學則通過平移方法思辨出“平行四邊形上下兩條邊平行，左右兩條邊平行”；進而引領學生思辨、概括出“平行四邊形兩組對邊分別平行且相等”。從中我們發現，測量和平移等實踐操作實質上是學生數學隱性思辨的具體外在表現，它們相互映襯、和諧統一。

（4）爭論式思辨：百家爭鳴、齊贏共生。

在思辨交流中，一方的發言是對另一方思辨觀點及內容的批評和否定，提出了另一種完全不同的觀點，引發爭論。在進行爭論式思辨時，要注意這樣幾點：首先，將問題理解、歸類；其次，找出該問題與自己觀點的矛盾之處；第三，從自己的觀點中找出更有深度的思想來反駁；第四，思辨時要相互尊重，在智慧碰撞中不斷吸收內化，從而齊贏共生。

例如教學“三角形穩定性”時，我讓學生把三角形和四邊形木架稍加用力拉一拉，以此體驗三角形的穩定性。也許是木架釘得不夠牢固，一個學生將四邊形木架拉成了如圖所示的三角形，并據此斷定“有的三角形沒有穩定性”。學生得出這種結論本沒有錯，因為他是通過操作比較后得出的，而比較是數學思辨的重要方式策略之一。這說明他的確在思考，只是思考時重視了外在的東西而已。為了讓學生能夠清晰地掌握“三角形穩定性的本質”，我引領學生開展爭辯式討論，使學生在爭論的過程中清晰地思辨出：拉的活動、形狀的變化都是表面現象，并不是三角形的概念（本質），假若我們要求在拉木架時，由兩根木條組成的“線段”必須始終保持是一條完整的線段的話，肯定就得不出那個結論了。

Proclus曾說：“數學就是這樣一種東西：她提醒你有無形的靈魂，她賦予所發現的真理以生命；她喚起心神，澄清智慧；她給我們的內心思想增添光輝；她滌盡我們有生以來的夢寐與無知。”可見，數學教育的根本目的在于學生數學素養的可持續生長及發展，而學生擁有自我的數學思辨能力正是實現這一教育目標的核心環節，因此在數學教學中，教師要運用自身的教育智慧，大力培養和發展學生的數學思辨能力，讓學生隱性和顯性的思辨智慧得以圓融共生。

注：本文獲2011年江蘇省“教海探航”征文一等獎

（作者單位：江蘇省連云港師專二附小）