子夜太陽高度和周日太陽高度變化規律

太陽高度是指太陽光線與地平面的夾角，受地球公轉、自轉、黃赤夾角等因素影響，太陽高度隨緯度、季節、時刻有規律變化。楊長青、孔祥群、賴月喜等對正午太陽高度公式推導和變化規律、黃赤交角變化對正午太陽高度影響、正午太陽高度的實際運用、正午太陽高度制作模型、等太陽高度線圖判讀等進行了深入探討，[1-3]但對子夜太陽高度計算和規律探討較少。筆者借助球面立體幾何、天體物理等知識對子夜太陽高度計算模型進行了推導，結合實際計算和圖形分析對子夜太陽高度和日太陽高度變化規律進行了一些探討。

一、子夜太陽高度的計算模型

正午太陽高度為地方時12時太陽光線與地平面夾角，是一天中最大的太陽高度，正午太陽高度知識在實際生活中用處較多，如樓間距計算、房屋朝向、太陽能熱水器集熱板最宜傾角、物影變化、季節判讀、地方時計算等，但是正午太陽高度計算及其應用是教學重難點，通過二分日全球正午太陽高度分布圖來探討正午太陽高度分布規律（圖1）。

由圖1可知，春、秋分日，赤道處正午太陽高度為90°，兩極地區為0°，說明正午太陽高度分布由赤道（直射點所在的緯線為中心）向南北兩側遞減；正午太陽高度同為66°34′、0°的緯度分布均有兩個，推理可知，正午太陽高度分布具有對稱性，對稱軸為直射點所在的緯線，距對稱軸的緯度距離相等；0°、23°26′N、90°N正午太陽高度分別為90°、66°34′、0°，表明其變化是以直射點所在緯度為中心，緯度每遠離中心1°則正午太陽高度相應遞減1°，推導出90°-H1=△H=△？琢（公式中H1為所求地的正午太陽高度，△？琢表示所求地與太陽直射點的緯度之差）；影響因素僅有緯度，因此同一緯線具有相同的正午太陽高度。

子夜太陽高度是指地方時0時的太陽高度角，是一天中太陽高度日變化的最小值。由圖2可知，點A為太陽直射點，且∠A=∠B=90°，∠B表示子夜太陽高度值為90°，即點B此時子夜太陽高度為-90°；點A與點B關于球心對稱，且子夜太陽高度的變化規律與正午太陽高度的變化規律一致，即其變化是以直射點關于球心的對稱點所在緯度為中心，緯度每遠離中心1°則子夜太陽高度相應遞減1°，即H子夜=？啄±？漬-90°（當地緯度為？漬，太陽直射緯度為？啄，？漬與？啄位于赤道同側取加號，異側取減號，即同加異減），H子夜∈（-90°，23°26′），若H子夜>0°表示該地此日極晝，其中負值表示此時太陽位于地平面之下。

二、子夜太陽高度變化規律

依據子夜太陽高度的計算模型，對不同緯度和季節的子夜太陽高度進行實際計算（表1），并根據計算結果繪制圖3、圖4，利用圖形來揭示子夜太陽高度隨緯度和季節的變化規律。

1. 子夜太陽高度隨緯度變化規律

由圖3可知，子夜太陽高度絕大部分小于0°，表明子夜時太陽絕大部分地區處于地平面之下，就其數值大小進行分析，非極晝區，同一天子夜太陽高度隨緯度有規律f 變化。夏至日，南回歸線處為90°，子夜太陽高度以南回歸線為對稱軸南北對稱分布，自南回歸線向南北兩側遞減；冬至日，北回歸線處為90°，子夜太陽高度以北回歸線為對稱軸南北對稱分布，自北回歸線向南北兩側遞減；二分日，赤道處為90°，子夜太陽高度以赤道為中心南北對稱分布，自赤道向南北兩側遞減。[4]因此，非極晝區，子夜太陽高度以直射點的球心對稱點所在緯線為中心南北對稱分布，向南北兩側遞減。若某地距離直射點關于球心對稱點越遠，即緯度差越大，則子夜太陽高度越小；緯度差越小，則子夜太陽高度越大。

2. 子夜太陽高度隨季節變化規律

由圖4可知，子夜太陽高度絕大部分小于0°，表明子夜時太陽絕大部分季節處于地平面之下，一年中，同一緯度地區的子夜太陽高度隨時間而有規律地變化，就其數值大小進行分析：北回歸線及其以北地區曲線圖形呈V形，子夜太陽高度一年中最大值出現在冬至日；赤道至北回歸線之間曲線圖形呈W形，表明一年內有兩次最大值90°，其子夜太陽高度最大值出現時間為冬至日前后；赤道上出現子夜太陽高度最大值的時間分別為春分日和秋分日。夏至日，北半球各緯度其子夜太陽高度達到一年中的最小值；赤道上一年內子夜太陽高度最小值出現在冬至日和夏至日；南半球子夜太陽高度的變化情況與北半球正好相反。

三、北半球各地周日太陽高度變化規律

日太陽高度圖可以揭示晝夜長短、正午/子夜太陽高度、極晝范圍及日太陽高度與時刻等變化規律。根據子夜太陽高度和正午太陽高度的計算模型，借用王多文等提出的球面三角公式[5]：sinH=sinδsinφ+cosδcsoφcost（式中H，δ，φ，t分別表示太陽高度角、當地緯度、赤緯和時角，其中時角以正南方位為0°，向西為正，每小時移動15°），對日太陽高度進行計算，并依據結果繪制精確的變化曲線圖5，探討了周日太陽高度的變化規律。

（1）由圖5可知，日太陽高度范圍[-90°， 90°]，負值表示太陽位于地平面之下，且地方時12時太陽高度最大，即一天中正午太陽高度最大，子夜太陽高度最小；極晝區日太陽高度均大于0°，極夜區日太陽高度小于0°。因此，H子夜>0°表示該地此日極晝；H正午<0°則為極夜。

（2）由圖5可知，赤道處始終H正午=-H子夜；二分日北半球各地除極點外H正午=-H子夜。因此，僅赤道和二分日全球各地H正午=-H子夜，其他地區和季節H正午≠-H子夜；南北極點處H正午=H子夜=±δ（極晝取正，極夜取負）；極晝區內H正午+H子夜=2δ（由公式可推導出）。

（3）由圖5可知，同一天，日太陽高度變化具有對稱性，以地方時12時為對稱軸，子夜至午時和午時至子夜變化情況相反；周日太陽高度變化曲線形狀類似拋物線，表明日太陽高度隨時刻變化具有非線性特征；曲線斜率反映地理事物變化快慢，日出至日中曲線斜率在遞減，表明日出至日中時太陽高度隨時間變化速度在遞減，接近地方時12：00變化速率最慢。

（4）由圖5a可知，從子夜到午時，夏至日北半球非極晝區太陽高度先變小后變大，極晝區則一直變大（北極點太陽高度始終為23°26′）；由圖5b可知，冬至日北半球非極夜區從子夜到午時，太陽高度先變小后變大，極夜區則一直變小（北極點為-23°26′）；由圖5c可知，二分日北半球各地從子夜到午時，太陽高度先變小后變大（北極點為0°）。因此，從子夜到午時，非極晝區太陽高度先變小后變大，極晝區則一直變大，極點處保持不變。

（5）由圖5a可知，夏至日北回歸線正午太陽高度最大為90°，且由北回歸線向南北兩側遞減；由圖5b可知，冬至日由赤道向北極點正午太陽高度逐漸遞減；由圖5c可知，二分日赤道正午太陽高度最大為90°，且由赤道向南北兩側遞減。因此正午太陽高度變化規律以直射點所在的緯度為中心南北對稱分布，計算公式：H正午=90°-δ±φ（同減異加）。

（6）由圖5a可知，北半球各地日出時刻小于6：00，日落時刻大于18：00，因此夏至日北半球各地晝長夜短，北極圈內有極晝現象；由圖5b可知，冬至日北半球各地晝短夜長，北極圈內有極夜現象；由圖5c可知，赤道處和二分日北半球各地晝夜等長。

（7）由圖5a可知，夏至日66°34′N～ 90°N范圍內出現極晝，北極圈上H子夜=0°；極晝區內緯度每增高1°，子夜太陽高度相應遞增1°，正午太陽高度遞減1°，兩者變化幅度相等，即△H=△？琢（極晝區內，兩地間子夜或正午太陽高度變化幅度等于緯度差的絕對值）。

四、結論

（1）子夜太陽高度計算模型：H子夜=δ±φ-90°（同加異減），子夜時太陽絕大部分地區和季節位于地平面之下，若H子夜>0°表示該地此日為極晝；

（2）子夜太陽高度隨緯度變化規律：非極晝區，子夜太陽高度由直射點關于球心的對稱點所在的緯度為中心向南北兩側遞減；極晝區則隨著緯度增高而遞增；極點處始終為±φ；

（3）子夜太陽高度隨季節變化規律：北半球各地子夜太陽高度的最大值出現在冬至日前后，最小值出現在夏至日；南半球的變化情況相反；

（4）周日太陽高度變化曲線類似拋物線，且具有軸對稱性；僅二分日全球各地和赤道處H正午=-H子夜；日太陽高度隨時間的變化速率具有非線性特征。

參考文獻：

[1] 楊長青.正午太陽高度角模型的設計、制作和運用[J]. 中學地理教學參考， 2011（8）：26-28.

[2] 孔祥群.黃赤交角變化對正午太陽高度和晝長的影響[J]. 考試，2006（10）：40-45.

[3] 賴月喜. 小議；太陽高度角變化的一般規律及圖示分析[J]. 中學政史地，2007（4）：48-52.

[4] 唐紅偉.圖示法比較正午太陽高度和晝夜長短的變化[J]. 中學地理教學參考，2004（9）：22-23.

[5] 王多文，劉燕林. 球面公式在天文地理學中的應用[J]. 陜西師范大學學報，1995（23）：39-41.