引導學生積累數學基本活動經驗

2011年修訂的《義務教育數學課程標準》在課程目標中明確提出了“四基”，即使學生“獲得適應社會生活和進一步發展所必需的數學的基本知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗”. 在傳統的“雙基”的基礎上增加了數學基本思想和基本活動經驗. 數學基本思想一線的教師都能理解，數學基本活動經驗則比較模糊，沒有引起一線教師的足夠重視，導致在教學實踐中缺少方法和手段.

如何充分利用數學課堂教學的主陣地，正確引導學生提出問題，積累數學基本活動經驗，適應新課標、新課改的新形勢，筆者認為教師嘗試做到“四要”，是一條正確的探索途徑.

一、教師要正確理解數學經驗的重要性

什么是數學基本活動經驗？不同的人對此有不同的理解. 有人說數學基本活動經驗是一種屬于學生主觀性的數學知識，是一種認識，特別是一種感性認識；也有人說數學基本活動經驗是一種體驗，是一種經歷，它既是知識，也是過程，更是綜合體. 東北師范大學校長、國家基礎教育實驗中心主任史寧中教授認為：數學基本活動經驗是學生在已有的經驗的基礎上經歷和感悟了歸納推理和演繹推理的過程，尤其是歸納推理的過程后建立的新的經驗和更高層次的直觀.

由此可見，數學活動經驗最直接的體現是一種數學直觀. 在數學課堂教學中，學生憑直覺的“模糊”判斷，往往含有一種“此中有真意，欲辯已忘言”的心理感受. 學生通過觀察條件作出判斷，判斷必然憑借推理，推理包括演繹推理和歸納推理，演繹推理在于檢驗結論，歸納推理在于由已知發現未知. 而歸納推理作為一種由特殊到范圍更廣的推理，可以培養學生根據情況預測結果的能力和根據結果推測成因的能力，這兩個能力是創新的基礎. 從這點上來講，引導學生積累數學基本活動經驗的過程，可以彌補以往數學教學中重演繹輕歸納的不足.

所以積累數學基本活動經驗，其根本的目的在于培養學生的創新能力. 而這個積累的過程，需要學生從已有的經驗和直觀開始，讓學生經歷思考的過程，然后提出問題，這個思考的過程就是從直覺開始，并經歷和感悟歸納推理和演繹推理的過程，由此形成一定的思維模式.

二、數學觀察中要積極肯定直覺思維

歐拉指出：“今天人們所知道的數的性質，幾乎都是由觀察所發現的，只有觀察才能使我們知道這些性質. ”學生從已有的生活經驗和數學學習中已經有了一定的數學經驗，并建立了一定的數學直覺.

教例一

師：已知a=，b=，由此你能通過直覺提出什么問題？

生：我想知道a與b那個值大.

師：你會覺得兩者那個值大？

生：我認為a

師：很好！你有這種數學直覺不簡單，能解釋一下嗎？

生：我觀察發現這兩個分數，分母都大于分子，分母和分子的差值是一樣的.

師：你的觀察的確很敏銳，但差值一樣為什么會有大小的直覺呢？

生：當分母小的時候，分母與分子的差異相對大，分母大的時候，分母與分子的差異相對小，前者值明顯小于1，后者值會趨向于1.

師：你能把你所說的“直覺”，抽象歸納成一個數學問題嗎？

生：好！我試一試. 如果 a ，b ，m都是正數，且 a>b，則<.

師：歸納得很好！如果從這個式子表面直覺看，你還認為這個命題是真命題嗎？

生：我還是憑感覺，這是對的. 我舉個生活中的例子，一杯糖水有a克，含有糖b克，甜度為，再加 m克糖，甜度為，后者肯定比前者甜，即比值大.

以上學生的思維就是一種數學直覺思維，看似模糊的背后，卻發現了事物的核心和本質，如果追尋這種直覺的來由，是已有的數學活動經驗和生活經驗的積累，教師要積極肯定. 有的教師常會借口數學是一門精確的科學，要言必有據，要有嚴密的邏輯推理，尤其偏愛演繹推理，不習慣學生的直覺判斷，實則扼殺了學生尋找真理和發現真理的創新思維的萌芽.

三、直覺思維的背后要挖掘出歸納推理

教師在教學引導中要注意，提出問題只是數學學習的第一步，猜測結論的對錯并不是關注的重點，重點是要挖掘出數學直覺背后的思維過程. 培養學生的數學活動經驗，激發學生的創造能力，需要讓學生經歷和感悟由條件猜測的結果，或者由結果探究成因的過程，這個思維過程的主要形式是歸納推理.

教例二

師：請允許我追問一下，你最初的那個數學直覺是如何感知的？

生：我是這樣想的，我舉個簡單的例子，有以下數例，分子與分母相差1，

，，，……，不難看出，分母最小的第一個值為0.5，分母最大的一個是0.99，仔細觀察，每一個值自左到右都在變大.

師：通過這些簡單的具體的數，你歸納出了一個數學結論：“如果 a ，b，m都是正數，且 a>b，則<”

生：我想是的.

師：你覺得你的這種經驗或者直覺一定都是正確嗎？別人是否都會信服？

生：有時也會猜錯，要讓別人信服，需要嚴格的推理證明.

師：說得真好！

要告訴學生，直覺很重要，但有時經驗和直覺未必都正確，因為不完全歸納推理畢竟是一種猜想，猜想不一定都正確，正確率與數學經驗的多少有關，我們積累數學基本活動經驗，正是為幫助學生形成正確的經驗.

四、歸納推理的基礎上要學會演繹推理

學生通過歸納推理產生直覺，在直覺的基礎上提出一個猜想或假說，教師要引導學生通過演繹推理證明，再次幫助學生經歷這樣一個自然的思考過程.

教例三

師：已知a=，b=，你能證明a

生：設x=20122012，20112011=x-10001，

20132013=x+10001

a-b=-==<0. ∴a

師：那么又如何證明“如果 a，b，m 都是正數，且 a>b，則<.”

生：a>b>0，m>0，∴am>bm，a（a+m）>0.

∴ab+am>ab+bm，∴a（b+m）>b（a+m）.

∴>，即<.

師：抽象的式可以用來說明比較具體的數的大小嗎？

生：完全可以. 應用上述不等式可作如下推理：

a=<<

顯而易見，利用這類不等式解決這類問題，更顯直觀、簡潔.

至此，創設情境，提出問題，分析問題，解決問題，數學應用形成循環，數學活動的經驗得以進一步累積.

總之，數學學習的結果，除獲得知識和技能外，還有長時間積累的思維模式，這種思維模式就是在觀察的基礎上，從最簡單的問題入手，一步一步地猜想和發現，不斷提出問題，不斷檢驗和修正，感悟問題的本質，并加以演繹地證明. 久而久之，學生數學基本活動經驗不斷積累，直覺會上升到一定高度，創新才成為可能.