2012年浙江省高考數學試題解決中的化歸凸現

化歸是數學解決問題的基本思想方法，它是將要解決的問題轉化為學生所熟悉的規范的基本問題. 2012年浙江省高考試題解決中較多地凸現了化歸思想的運用.

一、化歸為向量基本基底

例1 （理科第15題）在△ABC中（圖1），M是BC的中點，AM=3，BC=10，則·=________.

解：·=（+）·（+）=2+·（+）+·=-16.

本題將所求向量運算轉化為基本（已知）向量加減乘運算來解決. 本題與已知相關的向量是，（），所以需要利用基底思想將所求的·中兩個向量通過向量加法轉化到已知的基底向量，從而得解. 本題也可以建立坐標系，然后通過向量坐標運算來解決.

二、化歸為基本函數

例2 （理科第9題）設a大于0，b大于0.

A. 若2a+2a=2b+3b，則a>b

B. 若2a+2a=2b+3b，則a

C. 若2a-2a=2b-3b，則a>b

D. 若2a-2a=2b-3b，則a

解法一：y=2x+2x是增函數，對于任意實數b，“2a+2a>2b+2b”和“a>b”等價. 由條件2a+2a=2b+3b>2b+2b，于是有a>b. 選A.

解法二：構造兩個函數y=2x+2x，y=2x+3x，根據它們都是增函數，而2x+3x>2x+2x，可以得到它們的草圖，如圖2. 當它們的函數值相等時觀察圖象易得a>b.

分析本題特點，一是逆向思維選擇合適的函數，利用增減性來解題. 二是在相等關系中包含著不等的大小關系，然后要求轉化解決.三是形式和切入角度新穎，將函數的增減性與函數值的相等相交匯，要求對于給定的兩式相等的條件，觀察其中兩邊形式的共同點，將兩邊分別看成y=2x+2x（或y=2x+3x）當x=a（或b）對應的函數值，得到2a+2a>2b+2b或2a+3a>a>2b+3b，再將小的函數值加b（或大的函數值減a）轉化為值的相等關系.

解法二根據左右兩邊看成是y=2x+2x、y=2x+3x兩個函數的對應函數值，通過圖象直觀反映出它們的縱坐標相等時的橫坐標關系，解法更簡潔直觀.

三、化歸為平面圖形

例3 （理科第20題）如圖3，在四棱錐P-ABCD中，底面是邊長為2的菱形，∠BAD=120°，且PA⊥平面ABCD，PA=2，M，N分別為PB，PD的中點.

（1）證明：MN∥平面ABCD；

（2）過點A作AQ⊥PC，垂足為點Q，求二面角A-MN-Q的平面角的余弦值.

解：（1）由M，N分別為PB，PD的中點，得到MN∥BD，所以MN∥平面ABCD.

（2）解法一：取線段MN的中點E，連結AE，EQ，可以證明∠AEQ為二面角的平面角.

分別在△AMN中求AE，在直角△PAC中求PQ，然后在△PBC中求出MQ，再在△MQN中求出QE，最后在△AEQ中求得cos∠AEQ.

解法二：連結AC，BD交于點O，連結PO交MN于點R，由條件可得∠QRA即為所求二面角的平面角. 以AO，AP所在直線為x，y軸建立平面直角坐標系，則P（0，2），C（2，0），O（，0），得到中點R（，）. 由P，C坐標得到直線PC方程為y=-x+2，再得直線AQ方程為y=x，可以解出它們的交點Q（，）. （-，-），（，-），

所以cosθ==.

本題的圖形是平行六面體的部分圖形，在作出二面角的平面角后，需要轉化為平面圖形通過相關的三角形來運算解決，其中解法二首先將所求二面角對應平面角的關鍵點（R，A，Q）和題中的已知條件集中到平面三角形PAC中，從而通過平面向量的工具將所求角轉化為兩個平面向量的夾角.對于其中相對難求的垂足點Q坐標，又是通過平面直角坐標系求兩條基本直線的交點來得到，使整體的認識和運算得到了明顯的簡化. 求二面角也可以建立空間直角坐標系來計算解決，其中底面上各點的坐標確定同樣需要化歸為平面圖形來得到.

四、化歸為基本平幾圖形性質

例4 （理科第16題）定義：曲線C上的點到直線l的距離的最小值稱為曲線C到直線l的距離，已知曲線C1：y=x2+a到直線l：y=x的距離等于曲線C2：x2+（y+4）2=2到直線l：y=x的距離，則實數a=_____.

解：圓x2+（y+4）2=2到直線的距離即為圓心到直線的距離減去圓的半徑，即得到. 根據最短距離是，觀察圖象，則與直線y=x距離為的平行線y=x+2與拋物線y=x2+a相切，y=x2+a，y=x+2.消去y得：x2-x+a-2=0，？駐=0解得a=.

本題通過新定義問題中考查基本知識和方法，運用平幾基本性質輔助簡化了解題，圓x2+（y+4）2=2到直線的距離即為圓心到直線的距離減去圓的半徑，即得到. 這樣將圓上動點化歸為圓心和半徑， 通過平移直線求最短距離，較好地簡化了解題.

五、化歸為基本函數和基本因式

例5 （理科第17題）設a∈R，若x>0時均有[（a-1）x-1]（x2-ax-1）≥0，則a=__________.

解法一：（圖象法）根據三次函數圖象，由韋達定理得出x2-ax-1=0對應的兩根為一正一負已經確定. 當a=1時代入顯然不成立，因此對應方程的第三根是x=，要使對x>0均有關于x的一元三次函數值非負，對應函數只能是如圖5，即要求a-1>0，且對應方程的第三根與前面一元二次方程的正根是重根. 將第三根x=代入二次方程x2-ax-1=0，解得滿足條件的a=（舍去a=0）.

解法二：（代數法）從函數解析式來看，由于a=1時結論不成立，所以它一定能夠分解成三個一次因式之積，即y=（a-1）（x-）（x-）（x-），在x>0時，x-一定為正，x-中間一個關于x的因式正負都能取到，因此必須是滿足系數a-1是正，且前兩個因式是相同的（可化為它的平方），即=且a>1，解得a=.

本題解答過程體現了將三次不等式化歸為基本三次函數，再將其化歸為一次、二次方程問題，解法二中也包含著將三次方程通過因式分解化為一次因式，從而化歸為一次方程. 體現了幾何對代數的輔助，代數對幾何的確定作用. 其中包括幾何對整題的把握作用，計算中的等價作用和理解. 通過這樣的化歸，簡化了思考和運算，比如運算時并不是直接按照兩根相等來解，而是將其代入二次方程來解決. 本題解決中蘊含著函數方程思想、數形結合思想、分類討論思想.