讓數學課展現獨有的學科魅力

分數除法的運算對小孩子們來說是很難理解的。許多數學教育家認為最好到初中低年級再處理這個課題。雖然對于“乘除數的倒數”本身掌握起來并不困難，但是這并不表示孩子們對這一法則已經理解了。學習中學生如果沒有真實的體驗、沒有真正理解所學習的法則，就不僅容易出現各種錯誤，對他們的思維也沒有任何促進作用。在分數除法的教學中，只有讓學生清晰地理解計算的算理，揭示不同情境背景下的本質聯系，才能真正掌握計算的方法。

我處理這個問題的方法是讓學生多看一些簡單的例子，在具體例子的學習中逐漸感悟到“除以一個分數等于乘這個分數的倒數”。借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。本節課我充分利用分數墻這一有效載體，引導學生數形結合，邊操作、邊觀察、邊思考，并通過討論、交流，在理解的基礎上得出算法，進而掌握算法，使學生不僅知其然，而且知其所以然。

為了培養學生的數學素養，本節課我還巧妙地利用等式的性質，引導學生推導出“一個數除以分數等于這個數乘分數的倒數”，從而使本節課更加具有了“數學味”。

一、課前談話

教師播放春晚劉謙魔術表演片段（硬幣穿玻璃），激發學生興趣，為新課學習提供素材。

教師出示從網上購買的蝴蝶幣，學生認識蝴蝶幣的結構，為下面提出數學問題做好素材上的準備。

二、探究新知

1.從劉謙魔術中蝴蝶幣談起，研究整數乘、除法知識，為學習例2積累活動經驗。

教師用課件出示下面左圖（桌面上放12個單幣），提問：如果老師一拍玻璃，你們猜桌面上會出現幾個組合幣。

學生回答后，教師結合課件演示，由下面左圖變成右圖，體現“二合一”的過程。

教師提問：剛才的思考過程，用算式怎樣表示？（12÷2=6）

教師用課件出示下面左圖（桌面上有5個組合幣），提問：如果老師一拍玻璃，要出現5個組合幣，你們猜桌面上應該放幾個單幣。

學生回答后教師課件演示，由下面左圖變成右圖，體現“一對二”的過程。

教師提問：剛才的思考過程，用算式怎樣表示？（2×5=10）

【設計意圖】通過有趣的“蝴蝶幣”游戲，結合“二合一”的演示復習整數除法的知識，結合“一對二”的演示復習整數乘法的知識。

2.教學例2的前兩個問題，提出猜想。

（1）教師出示例2：

幼兒園李老師把4個同樣大的橙子分給小朋友。

①每人吃2個，可以分給幾人？每人吃1個，可以分給幾個人？

學生口答并列出算式：4÷2=2（人），4÷1=4（人）。

②教師課件出示：

每人吃半個，可以分給幾人？

把你的想法用圖或算式表示出來。

學生自己獨立思考，可以畫圖表示結果，也可以列式表示結果。

【設計意圖】兒童的生活經驗是理解算理的基礎，教師不急于出現■，而是充分利用學生“一半”的生活經驗，引導學生自主探究，這里的畫圖是一種非常好的教學策略，借助圖形語言，學生可以把自己的想法直觀地展示出來，讓我們看到學生真實的思考過程。

教師把桔子的個數改成“40個”“400個”“4000個”，讓學生回答，每人吃半個，可以分給幾個人？

學生很容易說出：80人、800人、8000人。

【設計意圖】由“4個”變成“40個”“400個”“4000個”，在學生的腦子里“乘2”的思路已初步形成。

（2）回到剛開始的問題，聚焦計算過程。

結合課件演示，直觀看出計算結果是8人。

教師引導學生進一步思考：還有什么辦法可以推出：4÷■=8？

學生回答后，教師課件演示：

4÷■=4÷0.5=8

4÷■=（4×2）÷（■×2）=8÷1=8

【設計意圖】激活學生的已有知識，引導學生把沒有學過的問題轉化成已經學過的問題解決，在算法的探究中掌握解決問題的一些基本策略。

結合下面的課件演示，從不同視角研究得出計算結果的過程?！耙粋€一個”地數如何得到8人；“一組一組”地數，如何得到8人。

進而得到等式：4÷■=4×2。

【設計意圖】經驗是一種過程性知識，是在實踐活動中所形成的一種“活動圖式”。同樣是“8人”，但得到這個結果卻有不同的路徑，可以由直觀演示看出結果，可以把分數化成小數計算出結果，可以根據分數的基本性質推出結果，還可以“一個一個”數出結果，“一組一組”數出結果。結合操作和圖形語言，引導學生探索、理解計算方法，直接服務于算理的理解和掌握。在此過程中，教師引導學生利用已有的知識解決問題，讓學生感受和體驗解決問題策略的多樣化。

（3）利用“分數墻”幫助學生理解“4÷■=4×2”。

【設計意圖】“分數墻”是一種非常好的數學模型，通過分數單位的個數，引導學生數形結合，用圖形語言刻畫運算過程，幫助學生直觀理解四則運算的算理，教學中老師組織學生進行“圈一圈”的活動，“幾個幾”的圖像便躍然紙上，有利于學生表象的建立，使問題的數量關系更易于理解，使抽象的算理具體化。

（4）利用“等式的性質”推導“4÷■=4×2”。

設 4÷■=x

4÷■×■=x×■

4=■x

4×2=■x×2

4×2=x

4÷■=4×2

【設計意圖】復旦大學張蔭南教授曾經說過這樣一句話：“數學家之所以有飯吃，在于能夠運用符號獲得結果。”利用等式的性質推出4÷■=4×2，推理過程無需現實情境的說理支撐，也不用直觀演示，雖然有一定難度，因為這種方法具有一般性，這里還是想介紹給學生，但不作為全班要求，只是定位在“了解”的層次上。學生掌握了這種思考方法，那么接下來的分數除以分數，便很容易推導出等于乘分數的倒數。在這個教學環節上，教師充分發揮自身在數學活動中的主導作用，在學生思維受阻的時候給予適度指導，引導學生積累科學的數學活動經驗。

也就是說，教師要根據數學知識的內在聯系，在學生能夠接受的情況下，應盡可能伸長“學習的觸角”，對所學知識進行適當拓展延伸，讓學生通過一節課的學習能夠收獲更多“能帶走”的東西，能夠積攢學習的“后勁”。

（5）進一步研究算式中的數，結合“4÷■=4×2”，引導學生思考：■與2有什么關系？學生先獨立思考，再在小組里交流自己的想法。

（6）學生初步提出猜想：一個數除以分數，等于這個數乘分數的倒數。

【設計意圖】重視引導學生從已有的知識和經驗出發，建立“合理猜想”，然后加以驗證，對于培養學生的直覺思維，形成科學嚴謹的學習態度和良好的思維習慣是非常必要的，這也是蘇教版教材在這個環節的重要編寫意圖。

3.教學例2的第3個問題。

（1）學生在教材上獨立完成，然后指名匯報。

（2）利用“分數墻”幫助學生理解。

（3）利用“等式的性質”自己推出。

4.教師結合圖引導學生思考：如果我們分的不是橙子，而是月餅，結果會怎樣呢？如果是4個蘋果、4個西瓜、4箱蘋果，結果又如何呢？

5.學生觀察黑板上的3組算式，思考：什么變了？什么沒變？你發現什么規律？

學生很容易發現：被除數不變，除號變乘號，除數變成它的倒數。

引導學生在前面猜想的基礎上得出結論：一個數除以分數，等于這個數乘分數的倒數。

【設計意圖】要使學生會計算，必須使他們明確怎樣計算，也就是要加強法則及算理的理解。計算的算理是說明計算過程中的依據和合理性，也就是為什么這樣計算。為了落實“四基”的培養目標，使學生受到數學思想方法的熏陶，經歷“提出猜想——驗證猜想——得出結論”的學習過程，教師放慢了教學的節奏，引導學生充分經歷算法的探究過程，讓學生自己發現一個數除以分數的計算方法，使學生享受到了獲得成功的愉悅感。

三、鞏固練習

1.畫一畫。

有1根2米長的繩子。

（1）截成每段長■米，可以截幾米？

列式計算：

（2）截成每段長■米，可以截幾米？

列式計算：

2.填一填。

6÷■=6×（ ） 9÷（ ）=9×3

10÷■=10×（ ） 12÷2=12×（ ） 15÷（ ）=15×■

3.大嘴鳥吃魚。

4.拓展：根據今天的學習，你能否推出4÷■=？

學生說出計算方法和結果后，教師借助“分數墻”進行驗證。

【設計意圖】這里的練習設計有3個層次，第1、2小題為基本練習，第3題為變式練習，數學變式訓練能培養和發展學生的求異思維和逆向思維，有助于學生提高分析問題、解決問題的能力。大嘴鳥吃魚的最后一題比較開放，有利于培養學生的發散性思維，溝通分數乘除法之間的關系。第4題為拓展練習，主要培養學生的遷移類推能力和類比能力，體現數學學習的“舉一反三”。

四、回顧與反思

教師結合課件引導學生回顧今天的學習歷程，使學生進一步明確，“提出猜想——驗證猜想——得出結論”是獲得數學結論的重要思考方法。

同時使學生感受到：有了倒數，乘法和除法兩種不同的運算就可以統一為乘法運算了，使學生感受這種轉化的美妙與魅力。

【設計意圖】本節課，教師引導學生在舒緩的音樂聲中，結合課件演示回顧自己的學習歷程，最后落到“提出猜想——驗證猜想——得出結論”的數學思想方法上，使數學思想方法更具“親和力”，有利于培養學生的學習后勁，完善學生的數學認知結構。

（作者單位：中國人民大學附屬小學）