教學的堅守與突圍

2÷■怎樣算？這個問題不難教，教師講一講，學生練一練，輕輕松松就能掌握算法。但2÷■為什么等于2×■？要讓學生明白其中的算理卻十分困難。于是，有教師認為“一個數除以分數”的算理“教了也不懂”，那還不如不教。也有專家提出：對一些程序性知識，可以先知其然，然后逐步知其所以然。”“說一千道一萬，要會用這種程序來解題。”

那么，教學“一個數除以分數”到底還要不要講算理呢？

一位專門研究數學普及問題的專家曾這樣說：“數學怎么會教得最壞呢？因為它可以作為一套毫無興趣或用處的數的計算程序來介紹的。隨著每一頁新的練習，孩子們越來越對它疏遠起來。當孩子們聽到一種神諭似的宣告，例如‘為了除以一個分數，你要上下顛倒后相乘’的時候，這種疏遠就達到了極端。”因此，如果選擇先教算法，那么我們無意間讓更多的學生疏遠算理，這是一種破壞性的教學。而那種希望讓學生先知道算法以后慢慢地明其道理的想法只是教師的一種單純想法而已，是不可能實現的，因為多數學生一旦知道算法就會對算理失去興趣。

毫無疑問，先理解算理，再掌握算法是教學必須堅守的底線。問題是，面對學生在理解算理時的種種困難，教學該如何突圍？

我以為，關鍵是需要教師站在“促進學生發展”的高度，重新審視和定位“一個數除以分數”的教學價值。除了理解算理，掌握算法，我們更應該把“一個數除以分數”的教學看做一個問題解決的過程。數學教學的終極價值是為了“不教”，即當有一天學生獨立面對陌生的問題時，是否有能力調動一切可以利用的基礎知識、基本能力、基本數學思想方法和基本數學活動經驗，自主尋得問題解決的最佳途徑。

那么，“一個數除以分數”的教學，是否就應該給學生提供獨立思考、自主尋找問題解決方法的機會？教學“一個數除以分數”最有意義的不是這個“冰冷”的算法本身，而是探究這個算法的“火熱”的數學思考過程。在這一過程中，教師需要給學生創設更為開放的問題情境，鼓勵學生更加自由地尋找問題解決的辦法，而不是把學生都引導到教師或者教材期待的“唯一合理的道路上”。教師需要厘清學生可能會以怎樣的方式來計算“一個數除以分數”，需要思考如果學生獨立探索碰到困難，教師該提供怎樣的幫助。教師還需要思考，學生呈現的不同算法之間存在怎樣的內在聯系，怎樣能更好地幫助學生在思維展開與壓縮之間清晰地理解算理、掌握算法。

我以為，以學定教，以學生學的思路來展開教的路徑，才是教學突圍之道。

“一個數除以分數”教學設計

教學目標：

1.引導學生探索一個數除以分數的計算方法，使學生能借助已有的知識、經驗解決一個數除以分數的計算問題。

2.溝通不同算法之間的內在聯系，使學生理解一個數除以分數的算理。

3.使學生獲得借助已有知識解決問題的數學活動經驗，發展學生的邏輯思維能力，并在探索與發現過程中獲得積極的情感體驗。

教學重點：引導學生借助已有的知識、經驗解決一個數除以分數的計算問題。

教學難點：溝通不同算法之間的內在聯系，使學生理解一個數除以分數的算理。

教學過程：

一、揭示課題、復習

1.口答。■÷3 ■÷4

2.解釋：■÷4為什么等于■×■？（呈現下圖）

二、展開

1.（1）呈現：4÷■，請學生想一想“怎么算”，并指名口答算法，課件呈現：4÷■=4×■＝10。

（2）追問：你是怎么想的？

生1：因為■÷4=■×■，所以4÷■=4×■。

生2：除以一個分數，等于乘這個分數的倒數。

（3）再追問：這樣算對嗎？你還能想到別的算法嗎？

學生獨立思考、探索，同桌交流。

反饋，學生可能呈現以下不同算法：

算法一：4÷■＝4÷0.4＝10

算法二：4÷■＝■÷■=10

算法三：4÷■=4×5÷（■×5）=10

（4）呈現情境：小明■小時走了4千米，他平均每小時走多少千米？

課件呈現線段圖，請學生想一想算法：

反饋：4÷■=4÷2×5=10（千米）

【設計思考】課前調查時我們發現，一個班級中，總有一定比例的學生已經通過自學課本或其他途徑已經知道了“一個數除以分數”的計算方法，但幾乎沒有學生能解釋其中的算理。

在要求學生想別的算法時，不少學生都能想到轉化為“4÷0.4”的方法，也有少數學生能想到“通分”的方法和利用商不變性質把除數轉化為整數的方法。但“4÷■=4÷2×5”的方法學生不容易想到，即使呈現出來，學生也無法解釋其中的算理。這時，需要教師提供現實情境進行支撐，或幫助學生理解算理，或刺激學生產生新算法。

計算4÷■完全是學生思維展開的過程，重點是鼓勵學生自主地采用多種不同方法解決問題，多種算法呈現后，教師并不急于進行比較和優化。

2.（1）呈現：■÷■，請學生想一想“怎么算”，并把能想到的算法都寫下來。

（2）同桌交流。

（3）反饋：

算法一：■÷■=■×■=■

算法二：■÷■=■÷■=■

算法三：■÷■=■×7÷（■×7）

算法三：=■×7÷2=■×7×■=■

教師呈現算法四：■÷■=■×■÷（■×■）

教師呈現算法四：=■×■÷1=■

（4）呈現情境：一種礦物質，■千克售價■萬元，平均每千克售價多少萬元？

課件呈現線段圖，請學生想一想算法：

反饋：■÷■=■÷2×7=■×■×7=■

（5）解釋：為什么這些算法的結果都和■÷■=■×■=■的結果相同？發現：這些算法其實最后都相當于在算■×■。

【設計思考】計算■÷■依然是學生思維展開的過程，于是，教師鼓勵學生盡可能多地用自己能理解的算法解決問題。由于有了計算4÷■的經驗，學生能采用多種方法計算出■÷■的結果。在利用商不變性質進行轉化時，多數學生會想到■×7÷（■×7）的方法，但基本上沒有學生能想到■×■÷（■×■）的方法，這時依然需要教師作為學生學習的促進者及時介入，提出新的思路，開拓學生的思維。

同樣的，學生在解釋■÷■=■÷2×7的算理時，依然會存在困難，這時需要教師再次提供現實的情境支撐，幫助學生通過數形結合理解其中的算理。

比較不同算法之間的聯系，這是學生算法的壓縮過程，也是理解算理的過程。這一過程中，溝通與發現都是困難的，也是學生必須要面對和經歷的。引導學生發現不同算法中都有■×■是關鍵所在。

三、鞏固練習

1．選擇兩種方法獨立計算。

15÷■ ■÷■

2.選擇一種方法獨立計算。

■÷■ ■÷■

3.總結算法：甲數除以乙數（0除外），等于甲數乘乙數的倒數。

【設計思考】從“選擇兩種方法獨立計算”到“選擇一種方法獨立計算”體現了學生算法優化的過程，也逐漸實現了從理解算理到掌握算法的自然過渡，體現了讓學生在“樸素理解”和“形式化”之間緩緩而行的教學理念。

（作者單位：浙江省嘉興教育學院）