初中幾何證明分析法中的逆向思維

幾何證明是初中數學教學中的重點，更是教學中的難點．如何突破難點，在培養學生的解題技巧的同時發展學生的數學思維，用數學的思維方式分析問題、解決問題，從而形成數學思想呢？

一、逆向思維在幾何證明中的優勢

眾所周知，分析法是幾何證明中最常用的一種證明方法，而分析法中又有兩種思維方式，一種是“由因求果”，另一種是“由果索因”．不管是“由因求果”，還是“由果索因”，它的思維方向都是線性方向，前者是正向思維，后者是逆向思維．但“由因求果”易使學生產生發散思維，一個條件寫出很多無用結論．

例1：如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F是AC上的兩點，且AE = CF.求證：DE = BF.

正向思維（由因求果）：

∵四邊形ABCD是平行四邊形

∴AB=CD，AB∥CD，AD=BC，AD∥BC

所得結論哪些要用，哪些沒用，對于中下層次的學生來說卻非易事．

逆向思維（由果索因）：

四邊形ABCD是平行四邊形

AD∥BC，AD=BC↑

∠DAE=∠BCF，【AD=BC】（需證），AE=CF（已知）↑

△ADE≌△CBF（更簡單）↑或△CDE≌△ABF

欲證： DE = BF↑

“由果索因”方向更明確，思路更清晰，可以避免學生在證明過程中走彎路，寫出一些無用結論．

當大家都朝著一個固定的思維方向思考問題時，而你卻獨自朝相反的方向思索，對于某些問題，尤其是一些特殊問題，從結論往回推，倒過來思考，從求證回到已知條件，反過去想或許會使問題簡單化．

二、逆向思維的訓練

要想學生能熟練運用逆向思維做題，單靠課堂教學講幾道題是遠遠不夠的，還需對學生進行一定的專項訓練．

（一）給學生講逆向思維的經典故事，培養學生逆向思維意識

人離水↓（孩子小做不到）

1．司馬光砸缸的故事：小孩掉進水缸——救人（結果）

水離人↑（砸缸，水走，人獲救）

2．田忌賽馬的故事：田忌賽馬，（三局二勝制）由于齊威王每個等級（上、中、下）的馬都比田忌的馬強得多，所以比賽了幾次，田忌都失敗了．請同學們設計能讓田忌獲勝的方案．

通過生動有趣的故事，讓學生體會從問題入手能更易、更快、更有效地找到解決問題的辦法．

（二）反習慣訓練

1. 教學生練習左手寫字、左手拿筷子吃飯．

2. 練習比較少用的那只腳進行單腳跳等．

（三）在幾何證明時利用問題的設計讓學生養成逆向思維習慣

幾何證明需要學生有嚴密的邏輯思維，對于幾何初學者的初中學生來說，環環相扣的問題設計可以幫助學生形成這種思維方式．而在問題設計時運用“由果索因”的逆向思維引導學生更能達到事倍功半的效果．

例如：如圖，AB=AD，CB=CD，E，F分別是AB，AD的中點.求證：CE=CF .

問題一：欲證CE=CF，應先證什么？（△BCE≌△DCF）

問題二：欲證△BCE≌△DCF，已知CB=CD，還缺什么條件？（∠B =∠D，BE=DF）

問題三：欲證∠B =∠D，已知AB=AD，CB=CD，應作如何處理？（連接AC，證得△ABC≌△ADC）

引導學生將問題分析清楚，整理思路，書寫證明過程，水到渠成，教師教得輕松，學生學得也輕松．

責任編輯 羅峰