在數學教學中發展學生的逆向思維

逆向思維指的是在研究事物的過程中有意去做與習慣的思維方向完全相反的探索，順推不行時考慮逆推，直接解決不行考慮間接解決，探討可能性發生困難時考慮不可能性，當反復思考某個問題或困境時，逆向思維往往可使人茅塞頓開。培養學生的逆向思維是素質教育發展的必然，是激發學生學習興趣、提高學生學科素質不可缺少的方法之一。

一、夯實“互逆”、“對應”的知識

數學知識中，一些概念、公式、法則和定理存在許多“相反互逆”關系，如“互為相反數”、“互為倒數”、“互為余角”、“互為補角”、“互逆運算”等。在教學過程中教師要下功夫把它們講清楚，使學生知道互逆關系是相互依賴、互為存在的，并引導學生對互逆關系“由此及彼”地思考。比如對于乘法分配律a（b+c）=ab+ac，乘法公式（a+b）（a-b）=a2-b2、（a±b）2=a2±2ab+b2等，要引導學生發現它們存在著互逆關系，也就是左邊和右邊相互顛倒過來也成立，到學習因式分解時，學生學起來就輕松自如了，從而提高了學習效率。

再如，絕對值、式（數）的乘方、平方根（立方根）、正多邊形和圓、函數概念等都存在對應關系。這些知識學生正向思考覺得容易，而逆向思考就有困難了，在教學中有意指出或強調它們的對應關系，學生有了意識，自然逆向思維就活躍起來，思維方向就不會單一。所以在教學中，有意引導學生的逆向思維，把逆向設問寓于教學中，就會給學生靈活運用數學知識打下堅實的基礎。

二、注意加強數學知識的逆向運用

有了逆向運用知識的基礎，在教學中就要培養學生對可逆知識的運用，才可能提高學生的逆向思維能力。

1. 堅持概念及定義的逆運用。在教學中要恰當地引導學生運用逆向思維分析和解決問題。

例如：若a、b是互不相等的實數，且a2=7a+3、b2=7b+3。求■+■的值。

本題采用先求a、b的值，再求■+■之值的方法，顯然不是好方法。若注意到已知兩式關于a和b的運算法則對應相同，則將a、b看成是方程x2-7x-3=0的兩根。因為a+b=7，ab=-3，所以■+■= ■=■=-■。運用了根與系數關系求出■+■的值，顯然達到了奇效。

2. 注意公式及法則的逆運用培養。公式及法則的互逆性，在講課時引導得好，運用時適當加強，學生會運用得靈活自如。

例如：計算25×■+25×■-25×■，采用乘法分配律的逆向運用，計算就很簡單，原式=25×(■+■-■)=25。

學生都會解方程，如由2x+1=3解得x=1。此時可逆向追問學生根為1的一元一次方程能構造多少個，從而使學生通過逆向思考真正掌握一元一次方程根與方程的關系，掌握方程的同解原理。

3. 培養學生的“反面求解”的方法。在解題中經常遇到順向求解困難，若采用反面求解往往會達到事半功倍之效。

例如：a為何值時，x=1不是方程2x-a=3x+5的解。本題從正面思考有相當難度，若改用反面求解則簡單。假設是原方程的解，則a=-6，顯然當a≠-6時，x=1不是原方程的解。

三、常用逆向設問，激發學生逆向思維的興趣

如前所述，數學這門學科本身有著大量的可逆素材，并且每一個數學問題幾乎都可提出逆向問題或從逆向來考慮。這為我們培養學生的逆向思維習慣創造了良好的條件。如“平行線的判定”的教學中，學生已學習了“同位角相等，兩直線平行”“內錯角相等，兩直線平行”“同旁內角互補，兩直線平行”后，教師在教學中有意識地進行逆向提問，例如：兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等嗎？內錯角相等嗎？同旁內角互補嗎？此時此刻學生的思維異常活躍，課堂氣氛也非常熱烈。興趣是學生對學習喜好的情緒，是探求知識的力量，在教學領域里一種好的數學思想、好的解題方法，必能激起學生的學習熱情與興趣，因而教師在平時的教學中，應有意識地編擬一些正向思維受阻、逆向思維輕取的習題讓學生進行思考，使他們漸漸認識到逆向思維的重要性。

例如：試計算（x16+1）（x8+1）（x4+1）（x2+1）（x+1）（x-1）。多數學生從正面思考，先計算（x16+1）（x8+1），然后逐步乘下去，結果感到運算很繁瑣，有的甚至半途而廢。正向思維出現受阻，教師借此機會進行逆向思維的啟發、引導、聯想，揭示問題的關鍵是把最后的（x+1）與（x-1）相乘，這樣不僅避開了繁瑣的運算，而且結果也很簡單，方法的精彩別致，引人入勝，仿佛使學生進入了一個新的廣闊天地，從而自然地誘發起學生對逆向思維的興趣。

責任編輯 羅 峰