逆向思維能力的培養

培養學生的思維品質是數學教學的宗旨，思維品質的培養是在解決問題的過程中實現的．因此，在解題教學中，教師要善于在無疑處巧設疑，引導學生學會尋找條件，運用條件，在思維過程受阻時，鼓勵和引導學生重新審視數學問題所涉及的知識，進行多角度的分析研究，適時架起已知與未知之間的必要聯系，幫助學生尋找問題的突破點，使學生漸漸養成多角度思考問題的習慣，克服思維的單向性，提高解題能力．

1. 抓住本質，逆否轉化

解決數學問題過程中有時從正面思考會陷入困境，甚至無法解決，不防反其道而行之，從它的反面尋找解決問題的突破口，往往能巧妙簡捷地解決問題．

例1：已知三條拋物線y1=x2+2ax+a2-a+3，y2=2x2-（4a-2）x+2a2-a，y3=x2-（2a+1）x+a2+2中至少有一條與x軸相交，求實數a的取值范圍．

分析：“至少有一條與x軸相交”包括七種情況之多，若從正面著手，分類討論則不勝其繁，如果注意到“至少有一條與x軸相交”的反面“三條都與x軸不相交”是等價的，而“三條都與x軸不相交”簡單明了，因此僅需求“三條都與x軸不相交”的實數a的范圍的反面即可，可避免繁瑣的分類討論．

解：假設三條拋物線都與x軸不相交

∴當a≤■或a≥■時三條拋物線中至少有一條與x軸相交.

通過尋找問題的對立面，并將它求解出來，然后從全集中排除對立面的部分——就是所求，解答過程別開生面、降低難度、簡化運算．

2. 變換視角，反客為主

解決數學問題，從思維方法看大致有兩種：由已知推出結論；由結論追溯到成立的條件，即分析與綜合．多數習慣綜合法，但在解決含有多變量的問題時，因受到思維定勢的影響，常被題目中給定的“常量”與“變量”所迷惑，常陷入“思路通、運算難”的困境而不能自拔．不妨退一步考慮問題，抓住問題的本質：常量與變量的相對性．反客為主，往往能走出思維的迷宮，出奇制勝，簡化解題過程．

例2：對于滿足0≤p≤4的一切實數，不等式x2+px>4x+p-3恒成立，試求x的取值范圍．

分析：習慣把x看作未知數，不等式x2+px>4x+p-3是含參數p的關于x的二次不等式，直接解比較難，難就難在含參數p的x的二次不等式．若把p看作“變量”，把x看作“常數”，則不等式x2+px>4x+p-3豈不就是關于p的一次不等式嗎？再由一次不等式的解集與函數的關系，把問題轉化為一次函數求解．

解：將原不等式變形得：（x-1）p+（x2-4x+3）>0，設函數f（p）=（x-1）p+（x2－４x+３），顯然x≠1，則f（p）是關于p的一次函數，若不等式（x-1）p+（x2-4x+3）>0在0≤p≤4恒成立，當且僅當f（0）>0且f（4）>0，于是有f（0）＝x2-4x+3>0f（4）=x2-1>0，

解得x<-1或x>3.

通過對問題解決過程的剖析，若順向解關于x的二次不等式，其繁難程度可想而知，若能抓住問題的本質、視角轉換，巧妙變換主元和等價轉換，則可撥云見日．辯證思維和創新思維能力的培養已滲透于解題教學過程中．

3. 執果索因，逆向分析

許多學生在解題過程中，習慣于從條件到結論的單一思維形式．事實上，有些問題，若從條件出發順向推求思路不太暢順、或在求解過程比較難，相反，由結論到條件的逆向分析、推導，可使問題峰回路轉．教學中，教師創設應用逆向分析的教學平臺，啟發學生思考，鼓勵學生勇于打破常規，敢于標新立異，善于轉換思維方式，培養學生靈活應變能力和思維發散能力．

例3：將函數y=f（x）的圖像向左平移1個單位，得圖像f1（x），再作f1（x）關于直線y=x的對稱圖像f2（x），最后將f2（x）的圖像向下平移1個單位得f3（x）=log2（x+１）的圖像，求函數y=f（x）的解析式．

分析：根據條件和結論的邏輯關系，題目是求使結論成立的充分條件，由于第三步變換結果是已知的，將題設的變換來個“反變換”，問題便可迎刃而解（解略）．

責任編輯 羅峰