引導學生經歷數學化的全過程

【教學目標】

1.認識生活中的搭配現象，理解搭配過程中的規律，并能運用搭配規律思考與解決一些實際問題。

2.在經歷找規律的過程中發展學生的探索、歸納、抽象、論證能力，逐步學會數學地思維的方式。

【教學過程與意圖】

一、情景引入，調動學生生活經驗

情景：同學們經常喜歡玩的“石頭、剪刀、布”的游戲，我們一起來玩一玩，可以分三個層次進行：

1.同桌間自由游戲，體會兩個人出不同的形狀，形成一種組合，產生一種不同的輸贏結果。

2.請兩位同學上臺表演，每進行一次，可記錄一次，讓學生體會到三種形狀可以產生很多不同的組合。

3.由老師和一位同學進行示范，這時老師有意先反復出示石頭，學生可自由選擇；老師再次反復出示剪刀和布，讓學生體會有序的組合。

【新課程標準在改革數學教學的過程中，有一個理念是貫穿始終的：那就是要加強數學與生活的聯系，數學知識才會脫去僵硬的外衣而充滿生機和活力；兒童構建教學概念、原理、法則、規律的過程要聯系其生活經驗和活動經驗，這樣他們才能自主地構建起屬于自己的知識。所以在學習《找規律——搭配》一課時通過日常的游戲引入，能使教學有一個生活經驗的起點，這是其一。另外在引入環節，設計了三個層次的游戲，第一層次是自由進行，這只是調動起學生的游戲常識和經驗，起到了引入的作用；第二層次進行必要的記錄，對游戲經驗進行分析，使學生看到每一次兩種形狀的組合可以形成一種輸贏，開始進入元素與整體的概念，這是學生在平時的游戲中不去深入思考的，也就是進入了對經驗的改造與抽象，這是生活常識、生活經驗上升到數學概念、原理、規律的必由之路；第三層次的游戲就更有數學味了，教師是反復出示石頭，學生可以有各種不同的形狀，這就有了“序列”觀念的產生，這里開始實質地孕育組合中的“乘法原理”了。】

二、出示例題，引導學生自主探索

1.出示情景，明確要求和問題。要求：買一個木偶娃娃，再配上一頂帽子。問題：小明可以有多少種選配方法？

2.個人探索，經歷過程。

（1）實際操作，讓學生自由搭配。為每個學生準備一份學具，包括三個不同顏色的木偶娃娃和兩頂不同形狀的帽子。給學生充裕的時間，讓學生在自由操作中體會不同的搭配，進而逐步生成有序搭配的思想。

（2）逐步抽象，讓學生自由表達。引導學生在實際動手搭配的基礎上，在草稿紙上用不同的方式表達出不同的選配方案，這里的不同方式可以畫示意圖，可以畫符號圖等。

【有了引入階段三個層次游戲的鋪墊，學生逐步開始有了“有序”搭配的思想。這里明確了目標和要求以后，讓學生進行兩個層次的操作活動：一個層次是為每個學生準備一份學具，讓學生自由自在地隨意組合，目的是讓學生在不斷試誤中感受到“組合”與“序列”，不斷在模糊與清晰之間來回反復，這種在活動中生成的經驗與獲得的感悟是學生自然產生的，對學生建立抽象的規律是非常重要的；第二個層次讓學生在自我摸索、已有初步理解與領會的基礎上，把思考的過程用圖形或自己的方式表征出來，這個表征使學生的思考又向前進了一步，可以說“表征”是一種把內隱的思維外化的重要策略，也是數學抽象的必由之路。】

3.小組交流，互相分享。

這里的交流與分享，可以是實際操作的演示，也可以是圖形表達的討論，讓學生有一個相互學習和碰撞的過程。

【如果說前面兩個環節是在問題引導下的學生自主學習，那么這個環節就是另一種重要的學習方式——小組學習了。從本質上來分析我們教學過程中的“提問——答問”策略，有時看上去是一種啟發式，把一個問題分析成一連串的小問題，一步步地線性前進，其實，其實質還是一種灌輸式的教學，教師的提問與學生的回答只是看教師傳授的知識點學生收到了沒有。所以在教學中要真正確立學生的主體地位，轉變學生的學習方式，先個人自主探索，自主活動，再小組討論，過程中的補充、碰撞或分享是非常重要的，一方面發言者可以在表達時整理和清晰思考，并通過言說來內化已經感悟到的東西，另一方面聽眾可以把別人的想法作為一面鏡子，來思考與修正自己的理解，能展開這樣的學習，可以說是一種“深度學習”了。當然這里個人自主學習與小組學習的組織策略要經過必要的訓練與磨合，有一個反復的過程，但一旦形成了這樣的學習方式，學生就可以以此為工具進行探索性發現式的學習，而且在學習過程中還有利于其社會性素質的生成。】

4.組織個人和小組學習情況的交流。

（1）展示不同的搭配方式，討論問題：怎樣選配才能做到不重復不遺漏？

①先選木偶，就是為不同的木偶選不同的帽子，從木偶出發來配帽子，每個木偶都可以選兩種帽子，這樣共有6種方案。

②先選帽子，就是每種帽子都可以戴在不同的木偶上，從帽子出發來配木偶，每種帽子都可以配三個木偶，這樣也有6種方案。

（2）展示不同的圖形表達方式，討論問題：怎樣才能做到既明白又簡單地展示？

【這個環節是建立在前兩個環節的基礎上的。這時的學習情況交流教師首先要明確問題，由學生進行匯報。這里的設計圍繞一個主要的問題：怎樣做到不重復不遺漏？學生自然會從兩個不同的維度切入，當然這兩個維度中，先選木偶的思路要容易些，而先選帽子對有些學生來說會有不習慣，這要求教師在學生匯報中適時地點撥，使學生的思維有一種多向的選擇。最后再組織學生對這兩種方式進行比較，通過異中求同與同中求異，使其思路更清晰。】

三、引導學生經歷數學化的過程，發現搭配規律

1.以學生抽象出的圖形表達方式為進一步數學化的資源，用連線的方式把搭配的情況抽象出來。

【學生通過圖形表征獲得了一些示意圖，以此為基礎，通過在示意圖之間連線的方式把學生的思維過程更進一步外化，這一次的連線外化又向“乘法原理”的本質前進了一步。】

2.進行必要的變式：（1）如果是三頂不同的帽子，三個不同的娃娃呢？（2）如果是二頂不同的帽子，四個不同的娃娃呢？

3.對這三種情況進行歸納抽象。討論問題：木偶的個數和帽子的頂數與有多少種選配方法間有什么關系？

4.對抽象出的規律進行必要的論證，為什么帽子的頂數與木偶的個數的乘積就是不同選配方案的數量？使學生把這個規律與乘法的意義聯系起來，體會組合問題中的乘積原理的本質就是求“幾個幾”。

【通過必要的變式，讓學生積累多個同類規律的案例，有了多個案例，就為不完全歸納推理提供了充足的資源；對這些平行性質的資料進行抽象就會獲得猜想：帽子的數量乘以木偶的數量就等于搭配方案的數量。這個結論還不是定論，只是一種可能，對這個結論還必須進行證明。小學階段的證明不可能像中學一樣進行嚴格的“三段論”式的演繹推論，但可以通過思辨，把“算式”與“意義”掛起鉤來，這里的本質意義就是求“幾個幾”，這樣學生就能在整體上想通了，也可以說是獲得了證明。有了這個過程，學生就會明白“為什么”會是這樣，源流關系清晰了，學生就會越學越有勁，越學越聰明。】

四、組織不同情景中的變式練習

1.“想想做做”第1題。

討論問題：（1）從學校到少年宮的路線由幾部分組成？（2）從學校到街心花園有幾條路可走？從街心花園到少年宮有幾條路可走？

2.“想想做做”第2題。討論問題：每種方案由哪幾部分搭配而成？

3.適度擴展：三件不同的上衣、兩條不同的裙子，兩雙不同的鞋子，這樣可以有多少種不同的搭配方式？

討論問題：（1）每種不同的穿法由哪幾部分搭配而成？（2）你能做到不重復不遺漏地找到不同的搭配方法嗎？

【變式練習是我國數學教學的傳統，通過變換情景、增加環節、改編問題，使問題的表層情景更為復雜，但問題的深層結構是統一的，學生通過解答不同情景中的問題，深化對數學知識的理解，可以說：變式有利于遷移，遷移是通向理解的大道。這里練習設計不僅有不同情景的變化，還有層次的增加，看上去更為復雜了，但其本質還是一致的，這樣的變式，有利于學生思維的縱向深入，也有利于數學結構的深度拓展。】

五、全課小結和質疑

本節課學習的主要收獲是什么？關于組合搭配問題還有哪些疑問？

（作者單位：江蘇省無錫師范附屬小學）