在向數學本質漫溯的過程中理解數學

【設計理念】

1.學生是最鮮活的教學資源。“每個學生都有豐富的知識和生活積累，每個學生都會有各自的思維方式和解決問題的策略”。從本質上說，學生的數學學習過程是一個自主構建對數學知識的理解過程。因此，學生對三角形認識的前期積累和學習過程中的生成資源是展開“認識三角形”數學活動不同階段的邏輯起點。

2.教師是最給力的合作伙伴。“學生是數學學習的主人，教師是數學學習的組織者、引導者、合作者。”當學生帶著自己原有的知識經驗和直觀理解走進學習活動時，不僅需要教師為學生的數學活動提供豐富的感知材料，更需要通過教師的精心預設和智慧引領，以使學生在向著數學本質漫溯的過程中主動建構對數學的理解，不斷提升對數學的興趣和熱愛。

【教學目標】

本課教學目標如下：

1.學生基于生活經驗，在觀察、操作、測量等探究性學習活動中，認識三角形的基本特征，了解三角形各部分名稱，發現“三角形兩邊之和大于第三邊”的三邊關系，初步建立三角形的概念。

2.學生在探索“三角形兩邊之和大于第三邊”特征的過程中，體會認識事物的一般過程和方法，發展空間觀念，培養學生的抽象概括能力和邏輯推理能力。

教學重點：三角形基本特征的認識。

教學難點：探索發現“三角形兩邊之和大于第三邊”。

【教學過程與意圖】

PPT自動播放如斜拉橋、金字塔、各種形狀的草坪等圖片。

一、“賞”中喚醒，激活學習需求

1.談話。同學們，從這些生活情景中你看到了哪些圖形？想到了哪些新問題？

2.揭題。（有機介入）其實，大家提出的問題大多與圖形的特征有關，生活中，人們常常利用各種圖形的不同特征來服務生活、裝扮我們多彩的世界。今天這節課，我們先來研究三角形的特征。（板書課題：認識三角形。）

【生活是學生產生數學興趣、展開數學想象的源泉。讓學生在豐富多彩的生活世界中“用數學的眼光尋找圖形”，引導學生在尋“找”圖形的過程中欣“賞”多彩的生活，拉近了數學與生活的距離，喚醒了學生對數學學習的期待。】

二、“做”中感知，認識圖形特征

1.“做”中體驗，認識特征。

（1）提出問題。三角形到底有哪些特征呢？你能用身邊的材料自己創造一個三角形來觀察嗎？邊做邊想，你用了哪些材料，發現了三角形的哪些特點，然后把你的發現告訴同桌。

（2）操作實踐。學生用自己的方法創造三角形，可能出現用小棒擺、在釘子板上圍、在方格紙上畫、用紙折、用剪刀剪等多種方法。

（3）交流創生。

師：你是怎樣想的？怎樣“做”出一個三角形的？通過“做”你發現了什么？把你的創造告訴大家。大家仔細聽，看這些三角形有哪些相同點和不同點。

生介紹方法并用自己的語言描述三角形特征

師：（根據學生匯報逐一填表）這里兩兩首尾相連的三根小棒、三條細線……在數學上都可以看成是三條線段，這些看似各不相同的三角形有沒有共同之處呢？你能用一句話概括怎樣的圖形是三角形，并說說它的特點嗎？

生：由三條線段圍成的圖形是三角形，三角形有三條邊、三個角、三個頂點。

師：（相機合并單元格并出示角、頂點及圖例）既然如此，我們可以把大家做的所有三角形用一個示意圖來表示。請把你創造的三角形畫在紙上，標出它的一個頂點、一個角和這個角的兩條邊。

生畫圖

（4）總結提煉。看來，不論你選擇什么材料、采用什么方法，這些形狀、大小、顏色不同的三角形都具有相同的特征：有三條邊、三個角、三個頂點。

【“數學課程應遵循學生學習數學的心理規律，強調從學生已有的生活經驗出發，進而使學生獲得對數學理解的同時，在思維能力、情感態度與價值觀等多方面得到進步和發展。”從學生的經驗出發，讓學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型的過程。在組織交流時，教師將重點放在建立邊、角和頂點的概念上，并通過合并單元格滲透“不論選擇什么材料、采用什么方法，這些看似形狀、大小、顏色不同的三角形都具有相同的特征”，進而從豐富的素材中抽象概括出三角形的基本特征。與此同時，引導學生“把你創造的三角形畫在紙上”，通過“標出它的一個頂點、一個角和這個角的兩條邊”，讓學生親歷“數學化”的過程，發展了學生的空間觀念，提升了學生的思維品質。】

2.“圍”中探索，發現規律。

（1）個例發現，直觀感知。

①提出新問題。在巡視大家做三角形的時候我發現了一個有趣的鏡頭。有個同學開始時選了長度分別是10厘米、5厘米和4厘米的三根小棒，可后來我發現她把4厘米的小棒換成了6厘米的小棒，我想問問這位同學，這是為什么呢？

②互動質疑。

生：我發現長度是10厘米、5厘米和4厘米的三根小棒不能圍成三角形，就把4厘米的小棒換成了6厘米的小棒，這樣就圍成三角形了。

師：你們有相同的經歷嗎？大家不妨一起來試一試，比較一下三根小棒的長度，把你的發現填在“實驗報告單1”中，由此你是否產生新的猜想？

生用信封中的小棒圍三角形，經歷圍成和圍不成三角形的過程，產生探究規律的好奇。）

師：（呈現學生資源）把你的發現告訴大家。

生：（可能1）就事論事得出結論；（可能2）發現兩條短邊之和大于最長的邊；（可能3）發現任意兩邊之和都大于第三邊。

師：（聚焦“可能3”的驗證）10+5＞4、10+4＞5，為什么也不能圍成三角形呢？

生：因為4+5＜10，所以我認為“三角形任意兩邊之和都大于第三邊”，否則就不能圍成三角形。

（2）舉例驗證，建立表象。

①追問促思。

師：從四個例子中的發現就能得出普遍結論嗎（在“可能3”后面添上問號）？你準備怎樣做？

生：多找幾個三角形，量一量三條邊的長度，如果他們的兩邊之和都大于第三邊，那就可以證明了。

師：同意這個觀點嗎？為了節省時間，我們就在課本第23頁“想想做做”第1題的點子圖上畫幾個三角形來驗證這個猜想，并把實驗過程記錄在“實驗報告單2”中（為便于研究，三條邊的長度按從小到大的順序填寫，每人至少畫一個三角形，同桌填在一張報告單中）。

②探索實驗。

③交流發現：三角形任意兩邊之和都大于第三邊。

（3）尋找反例，抽象本質。

師：在你們列舉的所有例子中有反例嗎？現在的問題是，當兩邊之和等于或者小于第三條邊時，為什么就不能圍成三角形呢？你能舉例（或者畫圖）說明嗎？

生：（可能1）因為兩點之間線段最短，要圍成三角形，兩邊之和必須大于第三邊；（可能2）（畫圖示意）當兩條短邊之和小于第三邊，就會落在第三條邊的里面；當兩條短邊之和等于第三邊，就正好形成一條線段。這兩種情況都不能圍成三角形。

師：實驗證明，“三角形任意兩邊之和都大于第三邊”，這個結論是普遍成立的。

（4）思辨創生，應用內化。

生獨立完成第24頁第2題。

師：（追問）你是怎樣判斷的？有更簡便的方法嗎？

生：只要看最短的兩條邊的和大于第三邊就一定能組成三角形了，因為最短的兩條邊之和都大于第三邊了，那么其他任意兩條邊的和就一定大于第三邊。這樣更簡單（如第3題，只要選擇較短的兩條邊2和5相加，如果2+5大于最長的邊6，那么其他兩條邊的和就一定大于第三條邊了）。

師：生活中其實我們已經在不自覺地應用三角形的這個特點了。如第24頁第3題，你能解釋一下為什么嗎？（引導學生用兩種不同的思路說明：兩點之間線段最短；三角形兩邊之和大于第三邊，感受知識之間的內在聯系。）

【學生從事數學活動的經驗是推進后續學習最鮮活的資源。在這里，教師敏銳捕捉學生的活動資源，通過三次追問引導學生對自己經歷的數學活動進行反思，在經歷“直觀感知→建立表象→抽象本質”的過程中建立自己的數學理解，獲得數學探究的一般方法。首先，教師通過“為什么把4厘米的小棒換成了6厘米的小棒？”的追問，將前期做三角形的點狀資源放大至每個學生親歷“圍成”和“圍不成”的探究欲望。接著，教師又通過“從四個例子中的發現就能得出普遍結論嗎？”的追問，將具體的實例驗證提升為具有一般意義的數學探究方法的學習。最后，教師又通過“當兩邊之和等于或者小于第三條邊時為什么不能圍成三角形？”的追問，引導學生走向對數學規律本質的理解。】

三、“變”中深化，發展數學思維

1.質疑拓展。（指裝有小棒的材料袋）如果每種顏色的小棒超過3根，你可以圍成多少種不同類型的三角形？你能有序寫出每種類型中所有的情況嗎？（16種）

2.實踐體驗。可以根據班級學生情況推進：思維水平高的班級可以獨立完成，思維水平低的班級可以先討論再列舉并提供相應的表格。

3.交流分享。

類型一（等邊三角形）：選擇同長度的三根小棒：4種。

類型二（等腰三角形）：選擇同長度兩根、一根不同長度的：10種。

（10、10、6）（10、10、5）（10、10、4）

（6、6、10）（6、6、5）（6、6、4）

（5、5、6）（5、5、4）

（4、4、6）（4、4、5）

類型三（不等邊三角形）：選擇不同長度的三根：2種。

師：關于三角形的分類，我們以后會專門研究。

4.總結延伸。

今天我們進一步認識了三角形，你有什么新的收獲？是否產生新的聯想?

學生自由表達。

彈性內容，教師根據教學實際情況選擇。

①我們知道，10厘米、4厘米、5厘米的三根小棒不能圍成三角形，但×××把4厘米的小棒換成6厘米的小棒就能夠圍成三角形了。除此之外，還有別的換法嗎？

②如果就換4厘米這根小棒，有多少種可能？如果長度為整數，有幾種換法？

【學生的數學學習過程是一種再創造過程，在一節課乃至長期的學習過程中，學生通過對前期較低層次活動本身的反思與分析，把較低層次獲得的知識與方法自覺轉化為較高層次學習探究的常識和能力，在新的“再創造”活動中建構對數學新的理解，獲得新的更高層次的知識和方法……如此循環往復，“獲得適應未來社會生活和進一步發展所必需的重要數學知識（包括數學事實、數學活動經驗）以及基本的數學思想方法和必要的應用技能”。這一環節的設計，滲透了分類研究的思想和有序思維的策略，順應了數學知識的發展和學生心理的發展需求，學生在“變”中展開數學想象，在“變”中提升思維品質。在互動開放的情境中，學生的數學期待始終走在知識學習的前面，新領域、新問題的呼喚為學生的數學學習抹上了一層詩意的底色：數學探究，漫溯深處趣更濃。】

（作者單位：江蘇省常州市第二實驗小學）