從了解學生到努力促進學生的發展

德國數學家克羅內克有一句名言：“上帝創造了自然數，其余都是‘人為’的?！钡谝粋€人為的數就是分數。分數，既重要又難教。分數的學習，是小學數學教學的一個難點，何故？何為？本文擬對此作出分析并結合兩則教學設計談一些想法。

一、學生認識分數，難在哪兒

學生認識分數，是從分東西開始的。也就是說，他們認識的是“行為的分數”，他們把“分”的過程以及結果與“分數”建立起聯系。我在二年級作了一項調查，讓學生畫圖，或用文字表示“二分之一”代表的意思。二年級的學生尚未在學校的數學課程中認識分數，調查的班級共有46人，有45人在長方形（含正方形）、圓、三角形、線段圖中“一分為二”，并用涂色等方式表示其中的一份為“二分之一”，還有一位學生這樣寫道：“二分之一是指把一個物品平均分成2份的其中一份。”由此可見，學生接觸分數早于課程中的安排，他們建立起來的對分數的認知與分東西相關。

蘇教版教材在三年級上冊第一次組織學生學習“認識分數”，是把一個物體、一個圖形平均分成幾份，用幾分之一、幾分之幾表示其中的一份或若干份。這里，是用面積的“部分——整體”表示分數，即用分數的面積模型認識分數。

蘇教版三年級下冊“認識分數”，是把由若干個物體組成的一個整體平均分成幾份，用幾分之一或幾分之幾這樣的分數表示這個整體里的一份或幾份。這里，不再是把一個物體、一個圖形看做一個整體，而是把幾個物體看做“1個整體”，所取的“一份”也不僅僅是“一個”，可能是“幾個”作為“一份”。這里，是用集合的“子集——全集”來表示分數，即借助分數的集合模型擴展對分數的認識。分數的集合模型需要學生有更高程度的抽象能力，其核心是把“多個”看做“1”。

蘇教版五年級下冊，繼續借助分數的集合模型理解分數的含義，并幫助學生建立分數的“線性模型”。在學習分數的“份數”定義之后，學習“除法與分數”，使學生把對分數的理解與除法聯系起來。在六年級認識“比”之后，又從另一個視角認識分數。

也就是說，分數的意義是多層次的，認識分數的模型也是多層次的。分數存在著多個不同的定義，包括“份數定義”、“商的定義”、“比的定義”等。定義的多元性，也就意味著教學活動的復雜性、學生理解的長期性。即學生認識分數的過程是一個不斷發展與深化的過程，理解分數的意義，不是一蹴而就的。這又正如國外的一位學者所指出的：“研究者一致認為，對分數的教和學的復雜性產生影響的主要因素之一就是分數包含了一個多方位的構成?！?/p>

在編寫第一學段“認識分數”時，蘇教版教材獨創性地把認識分數分成兩個單元，分散在兩冊教材中，這樣，學生對分數的理解有一個循序漸進、逐步提高的過程。這是針對學生學習過程中的難點作出的積極應答，既使學生在初步認識分數時獲得對分數較為完整的認識，又為學生在第二學段認識分數的意義教學作了良好的鋪墊?？梢哉f是匠心獨運，體現了“以生為本、據學論教”的教育理念。因而，教師在組織學生認識分數的過程中，要了解學生，直面學生的認識難點，把握學生認識分數的長期性與階段性的關系，促進學生不斷完成關于分數的認知結構的重組。

二、對李靜教學設計的兩點印象

無疑，蘇教版三年級下冊“認識分數”是學生學習的難點。分析南京市北京東路小學李靜老師《認識分數》一課的教學設計，在以下兩個方面給我留下了深刻印象。

1.找準學生的學習起點，逐步推進學生的認識。

在學習本課以前，學生已初步認識過分數，他們已經知道把一個物體平均分成若干份，其中的一份就是它的幾分之一。上課開始，出示，結合圖形或物體平均分的過程，激活學生對分數的已有認識。

在此基礎上，教師出示問題：將一盒水果平均分給4只小猴，每只小猴分得這盒水果的幾分之幾？學生借助以前建立的“分”的行動與分數之間的關系，很自然地想到用表示。此時，學生并沒有覺得“把1個水果平均分”與“把1盒水果平均分”有什么異樣。當教師揭明這盒水果是4個桃，并讓學生分一分的時候，學生初步感受了這里將4個桃組成一個整體。從認識一個物體的幾分之一到認識一些物體組成的一個整體的幾分之一，是認識分數教學上的一次飛躍。如前所述的對二年級學生所做的關于“二分之一”的調查，同樣發現，學生所積累的都是：二分之一，把一個圖形或一個物體平均分。沒有出現把一些物體組成的整體平均分，恰恰說明了建立“整體”觀需要待時而動。在李靜老師的教學設計中，教師巧妙地先是“一盒”后是“4個”的呈現方式，讓學生自然而然地開始建構“整體”觀念。

接著，由4個桃改成8個蘋果，學生進一步感受了把8個蘋果看做一個整體。針對學生出現的“”與“”兩種想法，組織學生討論，繼而對幾幅圖都用表示進行比較與追問，在新舊知識經驗沖突化解的過程中，學生關于的認知結構發生重建。

從4只小猴分水果，到2只小猴分水果，盡管水果的個數不一樣，但每只小猴都分得，在比較的過程中，學生對把分的行為用分數來表示有了更清晰的認識。

整節課的設計，環環緊扣，學生順勢拾級而上，在思考、交流、討論、比較、練習的過程中，豐富著對分數的認識。

2.“放大”學生不同的聲音，聚焦學習中的“難點”。

對于三年級的學生來說，由于分的是一些具體物體組成的一個整體，他們比較關注表示的個數與總個數的關系，而忽略了表示的份數與平均分的份數的關系。當“一份”是“一個”的時候，這樣的“問題”被掩蓋了。當“一份”是“幾個”的時候，學生中也就自然地出現了不同的聲音。而這，也恰恰說明了把“幾個”看做“1”，建立一個整體觀，對于小學生來說，真的是不容易的。

回頭看李靜老師的教學設計。把8個蘋果平均分成4份，每只小猴分得幾分之幾？學生出現不同的想法。教師直面學生現實，指出：聽到了不一樣的聲音。并組織學生將不同的想法都表達出來。

不同的想法，反映了學生學習的難點，又提供了鮮活的課堂教學資源。教師在最需要花力氣的地方舍得花時間，組織學生討論，在思辨、交流的過程中，學生把分的過程與“分數”再一次建立聯系，從感性地認識分的個數和總個數的關系，轉變到理性地認識每份和平均分的份數的關系，他們對分數意義的理解逐步逼近“份數定義”。

要與李靜老師商榷的是，復習鋪墊之后，教師出示問題：將一盒水果（4個桃）平均分給4只小猴，每只小猴分得幾分之幾？學生的解釋是“每只小猴分一個桃，分得這盒桃的”；教師以及后來有學生言說的是“其中一份是”，這里即出現了“個”與“份”說法的不同。如果教師在此將不同的聲音“放大”一下，并組織學生對不同的說法進行比較，是否有助于學生對“份”的有意注意并繼而思考：這里是用“個”表述還是用“份”表述？從“個”到“份”，促進學生關注分的過程中每份和平均分的份數之間的關系，進而轉向對分數分母和分子所表示的意義的理解。

三、教學再設計的三點想法

認識分數的教學，能否進一步放手讓學生學習？教學再設計，秉持的理念是：好的教學，是給學生更好的機會去建構。教師把學生帶到學習任務中，以學生已有知識觀念為新教學的起點，給學生多一些學習和建構的機會，從而促進學生的學習。

1.讓每一位學生帶著充裕的想法走進課堂。

在上課之前，學生完成了一份“研究學習”材料，這主要是基于以下兩點考慮的：其一，從學生學習的現實來看，學生的學習并不是從上課鈴響開始的。學生生產知識、思想、方法，是不受課堂40分鐘限制的。如前面的調查，二年級的學生在非課堂學習的場景中也積淀了許多關于分數的樸素認識。我們需要系統考慮學生課前、課堂、課后的學習，并作出整體安排。其二，從數學思考的需要出發，學生學習與理解數學有時需要較長的思考時間。正如著名數學家陳省身指出的：“數學是自己思考的產物。首先要能夠思考起來，用自己的見解和別人的見解交換，會有很好的效果。但是，思考數學問題需要很長時間，我不知道中小學數學課堂是否能夠提供很多的思考時間?！闭n前的研究學習，彌補了課堂內學生獨立思考時間的不足，之后的課堂學習，則更切實地給予了學生更充分的學生與學生、學生與教師交流互動的時空。

有這樣一個比方，在教學中，教師是“弓”，學生是“箭”。而我以為，我們要將學生化作“弓”，又化成“箭”，課前學生先想、先做，讓學生箭在弦上，蓄勢待發，從而生成對課堂學習的向往與期待。

2.讓每一位學生更充分地表達自己的想法。

在課前研究學習之后，教師在課堂中組織兩個層次的交流互動學習。兩個層次的交流互動，對每一位學生來說，是兩輪的學習。

第一輪是組內交流學習。每位學生在小組內要將自己課前研究過程中的想法與困惑、發現與疑問和盤托出。

第二輪是全班交流學習。即一個小組的學生就課前研究學習材料中的各個問題闡述他們的想法。其他小組的學生，先“聽”后“講”，也就是在聽完該小組的講解之后，可以對該小組的想法進行補充完善、質疑問詢，也可以進行要點提煉、歸納總結?？傊?，課堂上有更多的表達、交流的空間，每位學生都可以充分地表達自己的想法。

當然，在“兵教兵”的過程中，教師的組織、引導也不可或缺，如對學習內容中重點、難點、關鍵的聚焦，對學生學習中疑點、誤點的關注等。只是，學生能講的，教師不搶著講；學生講清楚的，教師盡可能不重復講。

3.讓每一位學生的想法在交流中自我修正。

在以學生交流為主的課堂中，我們會有這樣的擔憂：學生會聽講嗎？他們聽講效率如何？

關于聽講，要做到如前所述的先“聽”后“講”，更重要的是，邊“聽”邊“想”。這里的“想”，指在聽的過程中，每位學生都把他人的想法與自己的想法進行對照與比較。學生的言說，不是“藍本”，而是“鏡子”。課堂內的交流，重在建立具有反思性、循環性、相互依賴性的互動方式。在這一過程中，每位學生都修正、優化、調節著自己的想法。當學生能自我調節時，意味著學生將學習真正作為自己的事，積極地投身于學習，自主地完善著自己的認知結構，真正做學習的主人。

作為教師，在學生的學習過程中，要給學生修正、調節自己想法的時間與空間，要組織學生并逐漸讓學生自覺開展回顧、梳理、反思的活動。如在教學設計中可見，在階段性的討論、交流之后，有讓學生反思“注意什么”的安排；在交流課前研究學習材料中的“填一填”之前，教師組織學生先自查，發現錯誤，先改正。我們知道，學生的錯誤不可能單獨依靠正面的示范和反復的練習得以糾正，必須是一個“自我否定”的過程，而“自我否定”又以自我反省，特別是內在的“觀念沖突”作為必要的前提。認識錯誤，追究錯因，糾正錯誤，這都依賴于學生的自我調節、自我修正。

我們不僅要關注學生學了什么，更要關注學生是怎么學的、學生在學習過程中的態度如何。

綜上所述，教學活動的一個重要的目標，即通過我們的工作，幫助學生獲得新的進步，從而使我們的工作不僅僅停留于對學生數學學習活動的了解，而應努力實現由了解學生向努力促進學生的發展轉變。

（本文作者系江蘇省特級教師，南京師范大學附屬小學校長）