如何培養高中生數學思維能力

王曉蘭

摘要： 高中數學課程應注重提高學生的數學思維能力，這是數學教育的基本目標之一.本文從四個方面闡述教學中如何培養學生的數學思維，提高學生的數學思維能力.

關鍵詞： 高中數學思維能力發散性敏捷性靈活性

中國古代大教育家﹑思想家孔子十分強調思維的重要性，曾說：“學而不思則罔，思而不學則殆.”意思是學習不加思考就會迷惑無所得，現代文明所建樹的一切無一不是思維的功績.近年來，高考數學對考查學生思維能力的要求越來越高，并且此項能力考查的內涵也越來越廣泛.然而，很多學生只會模仿平時練過的題型，解決傳統的題目，對從來沒練過的新題型束手無策，歸根究底學生缺乏的是數學思維能力與分析解決問題的能力.學生對基本知識、基本方法不熟悉，更重要的是學生的思維不夠靈活.因此教數學不僅僅是傳授數學知識，更重要的是培養學生的數學思維能力.掌握知識與提高思維能力是互為目的，互為條件的辯證統一過程，只重知識不重能力培養，傳授給學生的知識是死知識，也就談不上培養學生數學思維能力.因此只有將數學課堂教學的重點放在加強思維訓練、提高分析能力上，才能真正發展學生智力與潛力，培養思維方式，提高分析能力，使學生從“知識型”向“智力型”轉化.

經過三年的教學與實踐，從課堂知識講解的方式，例題的選擇，解題的思路，以及解題回顧等方面來提高學生的思考問題，解決問題的能力，對此我有些粗淺的心得體會.我認為可以從以下四個方面培養學生的思維能力，提高學生解決問題的能力.

一、“一題多解，一題多變”，培養思維的發散性［１］

一題多解，是從多角度思考同一個問題，采用不同的基本方法解決問題，找出這些方法之間的內在聯系，逐漸引導學生的多元化思維；一題多變是通過對同一個題目的引申、變化、發散，突現問題的背景，揭示問題與條件之間的邏輯關系.教師在教學中首先要選擇典型的題目，引導學生從多方面思考問題，力求一題多解，使知識和方法延伸到數學的各個分支，探究它們之間的內在聯系；其次要善于挖掘題目的潛在功能，恰當地對題目進行延伸、演變，使學生的思維處于積極、興奮的最佳狀態，提高學生獨立分析問題的能力，從而對問題的本質屬性及解法規律有更深刻的理解.

例1：若x＞0，y＞0，x+y=1，求（1+）（1+）的最小值.

對條件分析可以從四個方面著手：

（1）由條件和問題的對稱性，想到x+y=1為定值，當x=y=時，（1+）（1+）有最小值9；

（2）x＞0，y＞0，x+y=1，想到x+y=1為定值，根據基本不等式，當x=y時，xy有最大值;

（3）x+y=1，想到1=x+y恒等變形；

（4）x＞0，y＞0，x+y=1，可令x=sint，y=cost，t∈（0，）；

（5）x＞0，y＞0，x+y=1，想到y=1-x，x∈（0，1）可化為一元函數，從而可以得出五種相應的解題方法.

通過“一題多解，一題多變”，可以使學生形成環環相扣的知識網絡，而不再是一小塊一小塊的零碎知識.“一題多解，一題多變”并不是方法與問題的簡單堆砌，而是從不同的角度去分析，思考同一個問題不同的切入點，讓學生意識并掌握從不同角度去思考問題，養成富于聯想的思維習慣，有效地培養思維的發散性.

二、勇于探索，善于分析，培養思維的敏捷性

思維的敏捷性是能在較短的時間內提出解決問題的正確意見.思維活動的快慢集中表現為分析問題和解決問題的快慢.教學中我們經常觀察到有些學生反應遲鈍，思維混亂，生搬硬套，特別在大型考試中碰到新穎的題型驚惶失措，常常陷入傳統的定勢思維.因此，學生思維敏捷性有待提高，這就要靠教師平時鼓勵學生勇于探索，引導學生分析問題.我認為主要從以下各方面培養學生思考與分析問題：（1）題目中的條件是什么？待求結論是什么？（2）通過已知條件可以映射到什么結果？（3）仔細研究問題的求解目標，分析要達到此目標必須具備的條件.（4）改變原問題的表達形式，將其轉化為與之等價的形式簡單或容易解決的問題.（5）如從正面思考有困難就從反面思考，直接法不能奏效時就用間接法.

例2（2010江蘇高考第19題）：設各項均為正數的數列{a}的前n項和S，已知2a=a+a，數列{}是公差為d的等差數列.

（1）求數列{a}的通項公式（用n，d表示）；

（2）設c為實數，對滿足m+n=3k且m≠n的任意正整數m，n，k，不等式S+S＞cS都成立，求證c的最大值為.

分析：首先根據條件我們可以得到如下信息：（1）各項均為正數的數列{a}的前n項和S，就想到a=a，n=1S-S，n≥2；（2）數列{}是公差為d的等差數列，可以得到=+（n-1）d，從而得到S.然后看看問題，第一小問是求數列{a}的通項公式（n，d表示），由前面的分析，我們已經得到a可用a，n，d來表示，所求問題是要用n，d表示，再比較分析一下就可以得出我們要做的事情用d來表示a.如何用d來表示a呢？由條件2a=a+a就可以得到.第二小問用分離參數法和基本不等式是比較容易的.有了這些分析，解題途徑基本明確，接下來的工作便是正確而合理地進行計算.

解：（1）由題意知，=+（n-1）d=+（n-1）d

當n≥2時，a=S-S=（-）（+）=2d-3d+2dn

由2a=a+a，得到2（2d+d）=a+2d+3d，=d

故當n≥2時，a=2nd-d=（2n-1）d

又a=d，所以數列{a}的通項公式為a=（2n-1）d.

（2）由=d（d＞0），=+（n-1）d=+（n-1）d=nd

得到S=nd

∵S+S＞cS∴md+nd＞ckd=d

又d＞0，∴m+n＞，c＜

∵m≠n∴m+n＞＞

∴c≤，所以c的最小值為.

要培養學生的思維敏捷性，必須讓學生學會分析題目條件，結合題目結論或所求，探索問題的突破口，采納相應解決方法，并進行長期的鍛煉，從而達到提高學生的思維敏捷性.

三、加強探究猜想，培養思維的靈活性［２］

思維的靈活性是一個人的思維活動能根據客觀情況的變化而變化.思維活動的靈活程度，它表現為對知識的應用熟練程度，根據熟悉的條件形式，展開合理的猜想，將待求問題轉變成熟悉的形式，巧妙地解決問題.猜想要以知識和經驗作為支柱，但培養敢于猜想，善于探索的思維習慣則是形成直覺的基本素質.波利亞十分推崇學習過程中的猜想，因此在教學中教師要鼓勵學生猜想，看到已知條件要善于“浮想聯翩”，勇于嘗試.先抓住一些信息，做出猜想，再做修正、證明，從而培養思維的靈活性.猜想是依據已有的知識和結果，經過嘗試而獲得對于待解決問題向結果靠近的方向猜想，除了猜想獲得結果外還需驗證所得猜想，所以此項能力集中體現為綜合素質能力，要求比較高，經常放在解答題中考查.

例3（2010江蘇高考第20題）：設f（x）定義在區間（1，+∞）上的函數，其導函數為f′（x），如果存在實數a和函數h（x），其中h（x）對任意的x∈（1+∞）都有h（x）＞0，使得f′（x）=h（x）（x-ax+1），則稱函數f（x）具有性質P（a）.

（1）設函數f（x）=1nx+（x＞1），其中b為實數.

（i）求證：函數f（x）具有性質P（a）.

（ii）求函數f（x）的單調區間.

（2）已知函數g（x）具有性質P（2）.給定x，x∈（1，+∞），x＜x，設m為實數，α=mx+（1-m）x，β=（1-m）x+mx，且α＞1，β＞1，若|g（α）-g（β）|＜|g（x）-g（x）|，求m的取值范圍.

分析：本小題主要考查了函數的概念、性質、圖像及導數等基礎知識，考查靈活運用數形結合，分類討論的思想方法進行探索，分析與解決問題的綜合能力.由題意易證明（i）.（ii）對b分類討論易得：當b≤2時，函數f（x）的單調增區間為（1，+∞）；當b＞2時，函數f（x）的單調增區間為（1，），單調減區間為（b+，∞）.第（2）題由題意g（x）在（1，+∞）上單調遞增，猜想α，β∈（x，x），則符合題意；看到α=mx+（1-m）x，β=（1-m）x+mx這一條件馬上猜想并驗證m∈（0，1）時，α，β∈（x，x）.由于分類討論的原則是：不重不漏，由于對m討論的完整性，再考慮m≤0和m≥1的情況，經討論都不符合題意，所以m∈（0，1）.有了這些思考，接下來解題就迎刃而解了.

看到熟悉的條件，要形成條件反射，聯想到相應的結論或相似的結果，這些聯想可能就是題目的突破口.要想形成這種條件反射，教師必須在教學中不斷引導學生善于猜測，用于探索，不斷提高學生的思維靈活性，走出傳統的定勢思維.

四、重視解題回顧，深化數學思維［３］

解題回顧是題目解答完后，教師引導學生重新審讀題目，講評解題對策的由來及其過程，幫助學生總結出數學的基本思想和基本方法，促進學生掌握，并學會將這些思想與方法運用到新的問題中去，成為以后分析和解決問題的堅固后盾，因此解題回顧也是數學教學中的一個重要環節.通過解題回顧可使學生學會尋求題目的分析入口，幫助學生掌握解題策略，也有利于提高與發展學生的解題能力.習題講解完畢，教師不妨提出以下幾點讓學生思考與實踐.

（1）對題目的條件反復推敲，抓住最棘手的條件，往往最棘手的條件正是題目的突破口.

（2）對習題現行的方法進行分析，思考這些方法為什么行之有效，進一步思考有無更直接或更完美的解題方案.

（3）對問題本身進行分析，分析該問題是不是特殊情況，能否將該問題推廣到一般，成為一個普適的結論.

（4）總結出題目中的因果關系和其他的邏輯關系，還可以將這些條件與結論互易，是否也成立；或者加強某個條件，結論是不是依然成立.

盡管培養與提高學生的思維能力不是一朝一夕的事，但是我們作為教師，應本著“授之以魚，不如授之以漁”的原則，教會學生如何思考數學問題，培養數學思維.教師要注意通過教學活動，創造有利條件，促進學生在掌握知識和技能的過程中思維能力得到發展.平時教學應當引導學生正確分析問題，探究知識之間的聯系，滲透數學思想，并闡述采用該種數學思想的緣由；通過作業輔導學生掌握數學思維的基本方法，逐步引導學生運用恰當的數學思維方法去分析具體問題，解決實際問題.

參考文獻：

［1］張群.加強發散性思維訓練優化解決數學問題策略［J］.淮陰師范學院教育科學論壇，2009，3：67-68.

［2］鄒國林.培養學生科學的數學思維方法［J］.教育藝術，2009，11：85.

［3］逯全弟.提高高中生解決數學問題的能力［J］.甘肅聯合大學報，2009，3（23）:95-96.