直角坐標系中有關圓周運動加速度的教學

杜忠明 徐航 熊飛嶠

摘要： 文中提出可以在直角坐標系中進行圓周運動加速度推導的教學設計，闡述了直角坐標系中圓周運動加速度公式的推導過程，并給出了教學建議，認為學生比較容易理解直角坐標系中加速度公式的推導方法，建議教材中增加直角坐標系中圓周運動加速度的推導。

關鍵詞： 圓周運動加速度直角坐標系

普通物理是各大學院校理工科學生的必修課，普通物理中都有質點圓周運動等曲線運動的知識。圓周運動對于學生來說并不陌生，但是由于受到知識的制約，高中學生在學習勻速率圓周運動中的加速度時只是直接接受公式，并加以應用，并不知道公式的來源，教材中有一點不太嚴格的證明，只是作為課外閱讀資料列出來的［１］。所以對于剛剛接觸質點運動的大學生來說，對圓周運動中的加速度問題可能不會理解得透徹。如果能讓學生掌握圓周運動加速度公式的證明，并和中學相比較，則可以使學生加深對相關知識的理解，激發學習興趣。同時，學好圓周運動也有助于學習質點的一般曲線運動，對整個大學物理的學習都會產生好的影響。本文所述的教學方法對學生加深理解質點圓周運動有一定的促進作用。

1.教材中加速度公式推導方法的分析

大學物理課本中對圓周運動加速度的推導或者在自然坐標中進行，或者在極坐標中進行［２］［３］［４］。課本上自然坐標和極坐標中的推導都是圖文并茂，邏輯嚴密，能夠將坐標的特點很好地應用到推導過程中，鞏固了學生對自然坐標和極坐標的理解。但是，以師范院校物理系物理學專業一年級的學生為例，他們剛進入大學就接觸了力學的學習，在學習質點圓周運動之前已經習慣于在直角坐標系中解決問題。自然坐標對于大一新生來說是一種全新的坐標系，在自然坐標下討論質點的曲線運動相對他們來說是一種新的方法，假如教師根據課本上的推導方法進行推導，則學生首先接受自然坐標的相關知識，然后在自然坐標下和教師一起討論質點圓周運動，顯得不太適應。極坐標系下討論質點的運動對新生也是比較陌生的。

質點圓周運動的加速度公式除了在極坐標系和自然坐標中進行推導外，還可以在直角坐標中推導。學生在學習圓周運動知識之前已經接受了位置矢量對時間求二階導數得到質點加速度的概念，而且不論在矢量知識和微積分的教學中，還是質點位置矢量與加速度關系的教學中，課本都是選擇直角坐標系進行描述的，并沒有提到自然坐標和極坐標等。學生在中學坐標系的學習中主要也是學習直角坐標，所以學生在圓周運動之前的學習中普遍都接受了直角坐標。所以如果教師把質點圓周運動的加速度公式放在直角坐標系下討論，學生對教師的推導過程就會變得容易理解。

2.直角坐標系下圓周運動加速度推導的理論根據

2.1勻速率圓周運動

如圖1所示為質點圓周運動示意圖，圓的半徑為R，把圓置于坐標系Oxy中。以圓心為坐標原點，質點位置矢量與x軸的夾角是θ。質點運動過程中位置矢量發生變化時θ跟著變化。

任意時刻質點的坐標是（x，y），質點的運動學方程是

=x+y（1）

其中x和y都是時間的函數。x和y與θ之間的關系是x=Rcosθ，y=Rsinθ，所以有

=Rcosθ+Rsinθ（2）

對上式求導可得

==+=-Rsinθ+Rcosθ（3）

設質點的角速度是ω=，在勻速率圓周運動中是恒量，質點的速度可以寫成

==-Rωsinθ+Rωcosθ（4）

速度矢量對時間求一階導數得到加速度：

===-Rωcosθ-Rωsinθ=-ωRcosθ-ωRsinθ（5）

上式進一步寫成

===-ωRcosθ-ωRsinθ=-ω（6）

由此可以清楚地看出，加速度的方向與質點的位置矢量方向相反，即加速度的方向是指向圓心，加速度的大小為

a=|-ω|=ω||=ωR（7）

用線速度和角速度的關系v=ωR或ω=v/R，上式可以寫為

a=（8）

（7）和（8）兩式就是學生在高中物理中熟悉的勻速率圓周運動向心加速度公式。

2.2變速率圓周運動

在變速率圓周運動下，質點的速度表達式仍然用（3）或（4）式，但是對時間求導時角速度已經不再是恒量，所以加速度為

==（-Rcosθω-Rsinθ）+（-Rsinθω+Rcosθ）

=（-Rcosθω-Rsinθω）+（-Rsinθ+Rcosθ）（9）

上式中前一項就是（6）式，所以寫為-ω，其大小和方向與（6）式相同。后一項可以寫為

（-sinθ+cosθ）=（-sinθ+cosθ）（10）

其大小為

=（11）

令（10）式和（2）式（即質點的矢量）相點乘

（-sinθ+cosθ）?（Rcosθ+Rsinθ）=R（-sinθ?cosθ-sinθ?sinθ+cosθ?cosθ+cosθ?sinθ）=0

說明這兩個矢量相互垂直，即方向在切線方向，該加速度分量是質點圓周運動時的切向加速度，在勻速率圓周運動中該項為零。（6）式就是（9）式的前一部分，所表示的加速度分量為質點的法向加速度。

所以圓周運動的質點法向加速度的大小是ωR=，方向指向圓心；切向加速度的大小是，方向在圓周的切線方向。

3.教學建議

教師在課堂上采用上述推導過程帶學生推導時應遵循啟發式教學的指導思想，首先復習質點直線運動中速度和加速度的求法，引導學生總結出在不同坐標系里質點加速度的推導都是遵循著共同的原則：列出質點的運動學方程→結合示意圖對質點運動學方程求一次導數得到質點的速度→對速度再一次求導得出質點的加速度。同時教師應向學生講述，各種坐標系下質點圓周運動的運動學方程應具體情況具體分析，不同的運動學方程對應的求導方法也有差異，但是最后的物理意義是相同的。

引導學生推導質點圓周運動中加速度的過程大致如下：教師首先在黑板上作出圖1；引導學生總結出（1）式和（2）式，并寫在主板書的位置上；以提問學生和總結的方式在副板書位置上推導（3）—（6）式，并將（6）式寫于主板書的位置，著重講述其物理意義；在副板書位置重寫（3）式，交代變速率圓周運動中角速度也是時間的變量，對該式求導時應把角速度考慮進去；用（3）式引導學生推出（9）式并將其前一部分和（6）式做比較；引導學生按照（9）式以后的各式總結出質點切向加速度的大小和方向，并在推導過程中對矢量乘法進行回顧，重點講述各式的物理意義；在主板書位置上把加速度矢量寫成切向加速度矢量加法向加速度矢量的簡潔形式；對推導過程進行小結。

除了必要的主板書以外，其余的推導可以采用多媒體播放的方式進行教學。要想使推導過程對學生更有說服力，可以讓（4）式和（2）式點乘得到結果為0，說明速度矢量和質點位置矢量相垂直，從而說明質點速度方向為切線方向。

4.結語

在直角坐標系中對圓周運動加速度的推導比較簡單，邏輯也比較嚴密，所占的篇幅也比較小，教學過程需時間不多，有其可取之處。在質點圓周運動加速度推導的教學中，如果在課本所述推導方法的基礎上，按本文所述的思想進行補充，至少對學生加深對圓周運動加速度公式的來源的理解是有益的。相關教材如果能把直角坐標系中推導質點圓周運動加速度公式的內容加進去，先讓學生學會在直角坐標中對圓周運動加速度公式進行推導，然后學習在自然坐標和極坐標中的推導，至少將直角坐標中加速度的推導作為學生閱讀的內容展示給學生，將有助于學生加深對圓周運動加速度公式的理解。

參考文獻：

［1］人民教育出版社物理室編著.物理（第二版）［M］.北京：人民教育出版社，2006：88.

［2］劉克哲，張承琚.物理學（上）（第三版）［M］.北京：高等教育出版社，2005：16-20.

［3］漆安慎，杜嬋英.力學（第二版）［M］.北京：高等教育出版社，2005：43-47.

［4］周衍柏.理論理學教程（第二版）［M］.北京：高等教育出版社，1986：9-18.

遵義師范學院教研項目（編號11-27）。

貴州省重點支持學科（黔教高發（2011）275號）。