關于判別解析函數的教法研究

晉守博

摘要： 復變函數是理工科的重要基礎課程，解析函數是復變函數課程中最重要的內容之一.本文從不同的方面分析了解析函數的教學特點，討論了判別函數是否解析的五種方法，并舉例進行了說明.

關鍵詞： 復變函數解析函數教法

《復變函數》是高等學校理工科學生的專業必修課，在建設應用型本科高校的背景下，由于復變函數的廣泛應用性，這門課程正在被越來越多的高校重視.如何才能教好復變函數課程，已經是擺在教師面前的一個重要課題.我就復變函數中解析函數的教學方法提出自己的看法.

解析函數是復變函數課程中的重要內容，也是學生學習復變函數課程的難點，對解析函數的準確理解有利于學生更好地掌握復變函數的特點.本文重點圍繞解析函數的幾種等價判別方法，分析解析函數的教學.

1.按照定義理解解析函數

如果復變函數w=f（z）在點z■及z■的某鄰域內可導，則稱w=f（z）在點z■解析；如果w=f（z）在區域D內每一點都解析，則稱w=f（z）在區域D內處處解析.

根據解析函數的定義我們可以知道解析函數與可導函數很類似，但又不完全一樣，如果函數在某點解析，那么函數在該點一定是可導的；反過來卻不一定成立.從直觀上來看，解析函數是一個整體性的概念，可導函數是一個局部性概念，與可導函數相比，解析函數要求更高一些.還要指出的是：對一個區域而言，函數在區域內可導與解析是完全一樣的，主要原因在于區域是連通的開集.

教師在教學過程中應該重點討論函數f（z）=z，g（z）=■和h（z）=|z|■的解析性和可導性，比較它們的不同，通過定義我們可以知道函數f（z）=z在整個復平面上處處解析也處處可導，函數g（z）=■在整個復平面處處不解析也處處不可導，但是函數h（z）=|z|■在z=0可導但不解析，主要原因在于函數h（z）在z=0任一鄰域內都有不可導的點，不能滿足解析函數的定義.

2.根據柯西—黎曼方程理解解析函數

按照文獻[2]中的定理，復變函數f（z）=u（x，y）+iv（x，y）在區域D內解析的充要條件為：

（1）u■，u■，v■，v■在D內連續；（2）在D內有u■=v■且u■=-v■.

其中第二條稱為柯西—黎曼方程，該定理為我們提供了一種判別復變函數是否解析的方法，對于一個區域內的復變函數只要滿足上面條件，就可以說明它是解析的；反過來，解析的復變函數也一定滿足上面兩條結論.實際上，該定理也可以看成是解析函數的等價定義.

需要指出的是，對于常見的初等函數，如三角函數、對數函數和指數函數等，它們的解析性都是通過上面定理證明.比如對于指數函數f（z）=e■=e■cosx+ie■sinx，經過簡單計算可知它的實部和虛部對所有的點都是滿足上面兩條結論的，因此指數函數在整個復平面上都解析，最后為了方便應用，只要記住這些初等函數在什么的范圍解析就可以了.關于初等函數的詳細討論可以參考文獻（3）—（4）.下面舉例說明如何應用該性質分析復變函數的解析性.

例1：討論函數f（z）=x■+iy■的解析性.

解：因為函數的實部和虛部分別為u（x，y）=x■，v（x，y）=y■，所以u■=2x，u■=0，v■=0，v■=2y.

從而u■=0=-v■，要u■=2x=v■=2y，必須y=x，故僅在直線y=x上柯西—黎曼方程成立，從而函數f（z）=x■+iy■僅在直線y=x上可微，但在整個z平面上處處不解析.

3.通過柯西積分定理和摩勒拉（Morera）定理理解解析函數

柯西積分定理[2]：如果函數f（z）在z平面上的單連通區域D內解析，C為D內任一條簡單閉曲線，則？蘩■f（z）dz=0.

摩勒拉（Morera）定理[2]：如果函數f（z）在單連通區域D內連續，且對D內任一條簡單閉曲線C有？蘩■f（z）dz=0，則f（z）在D內解析.

這兩個定理主要通過積分形式判別函數是否解析，雖然柯西積分定理的證明比較麻煩，但是該定理的應用十分廣泛，可以極大地簡化積分計算，比如應用該定理計算積分？蘩■z■sin■ze■dz時，可以利用函數f（z）=z■sin■ze■在整個復平面上解析的特征判斷它的積分的值為0，教師在教學過程中應該與高等數學上的微積分基本定理進行比較，說明該定理在復變函數中的重要性.需要注意的是，當判斷函數在某區域內是否解析時，人們很少去用該定理判斷，主要原因在于任意閉曲線在實際計算中很難表示.

4.通過共軛調和函數理解解析函數

根據文獻[2]共軛調和函數的概念可知，復變函數f（z）=u（x，y）+iv（x，y）在區域D內解析的充要條件為：在區域D內v（x，y）是u（x，y）的共軛調和函數.需要注意的是，利用該性質不僅可以判斷函數的解析性，而且可以構造解析函數.下面我們舉例說明解析函數的構造問題.

例2：已知二元函數u（x，y）=x■+xy-y■，能否構造出解析函數f（z）=u（x，y）+iv（x，y），如果能，請寫出函數f（z）的具體形式.

解：對函數u（x，y）求偏導數可得：

u■=2x+y，u■=x-2y，u■=2，u■=-2.

故u■+u■=2-2=0，從而函數u（x，y）在整個z平面上為調和函數，于是利用上面性質，可以判斷所求的解析函數f（z）必定存在.下面求該函數的具體值，利用柯西—黎曼方程可得v■=-u■=2y-x，v■=u■=2x+y，從而對函數二元函數v（x，y）微分可得，

dv=v■dx+v■dy=（2y-x）dx+（2x+y）dy

=（2ydx+2xdy）+（-xdx+ydy）

=d（2xy）+d（■（y■-x■））

=d（2xy+■y■-■x■）

所以函數v（x，y）=2xy+■y■-■x■+C（C為任意常數），函數f（z）=u（x，y）+iv（x，y）在整個復平面上解析.

解析函數與調和函數具有很多類似的性質，對于解析函數我們有柯西積分公式；而對于調和函數，有與柯西積分公式相似的泊松（Poisson）積分公式.解析函數有平均值定理和極值定理；而調和函數也有類似的結果.通過調和函數去分析解析函數，能夠幫助學生更好地掌握解析函數的性質.

調和分析是一種極為復雜的數學分析理論，大部分復變函數書都只是對該方面進行簡單介紹，關于該理論的詳細情況，教師可以指導學生查看其他書目.

5.通過級數理論理解解析函數

級數也是研究解析函數的一個重要工具，把解析函數表示成級數不僅有理論意義，而且也有重要的實際意義.文獻[2]中指出了，函數f（z）在區域D內解析的充要條件是：f（z）在區域D內任一點a可以展成z-a的泰勒級數.

利用泰勒定理，我們得到了級數與解析函數的關系，從而可以通過分析級數的性質去理解解析函數的概念.對于冪級數而言，只要求出其收斂半徑，就可以斷定它的和函數在收斂圓內處處解析.

參考文獻：

[1]陸慶樂.工程數學：復變函數[M].北京：高等教育出版社，1996.

[2]鐘玉泉.復變函數論[M].北京：高等教育出版社，2004.

[3]鐘玉泉.復變函數學習指導書[M].北京：高等教育出版社，2010.

[4]劉建亞，張光明，鄭修才.復變函數與積分變換[M].北京：高等教育出版社，2007.

基金項目：宿州學院教研項目（編號：szxyjyxm201141）。